导数工具在不等式证明中的应用.docVIP

导数工具在不等式证明中的应用 【专题概述】 综观近几年的高考数学试题，压轴题常常以函数为背景，结合零点个数研究、不等式恒成立问题的转化、不等式证明来综合考查考生的逻辑推理能力、分析分题解决问题的能力及数学素养。 通过分析不等式的结构特征来构造函数，再借助导数工具来研究函数的单调性、最值是证明不等式的一种有效手段。 【典题剖析】 n(1，m)mn例一(2001年高考题)已知是正整数，且1??,，证明:,i,m,ni m(1，n)( nm(1，m)(1，n)分析:由于是正整数，要证明,，取对数后只要证明i,m,n ln(1，m)ln(1，n),，即要证明,，由于上式两端具有同样的数学nln(1，m)mln(1，n)mn ln(1，x)mnmnxf(x),结构，仅有与的区别，把与都换成同一个变数，则得函数(此x时问题就转化为函数的单调性问题(于是我们得到以下证明( mnnm证明:?是正整数，且且1??,，?,?2( i,m,ni x,ln(1，x)ln(1，x)x1，x,xxf(x),设函数(?2)，则，其中?2，?0,,1，f(x),2x1，xx ln(1，x),nmf(x),ln(1，x)?,1，从而f(x),0，因此函数是单调减函数，又,?2，ln3x ln(1，m)ln(1，n)nm(1，m)(1，n),，即nln(1，m),mln(1，n)，故而有,( mn baaaee变式1:已知、为实数，且,,其中为自然对数的底，求证:,( abbb baae证明一:?,,，?要证,，只要证,，设abbblnaalnb ef(b),blna,alnb(,)( b aa,,aef(b),lna,则，?,,，?,1，且,1，?f(b),0，?函数blnabb f(b),blna,alnb在(e,，,)上是增函数，?f(b),f(a)== 0，即alna,alna baf(b),0，亦即,0，?,，从而a,b( blna,alnbblnaalnb lnalnblnxbaxg(x)证明二:要证a,b，只要证,，即证,，设=(,blnaalnbabx 1,lnx,exeeg(x)g(x)(e,，,))，则=,0 (?,，?,1)，?在上是减函数，又lnx2x lnalnbbaag(a)g(b),,，?,，即,，?,( abbab 点评:构造是一种重要而灵活的思维，应用好构造思想解题的关键是:一要明确构造的目的，二要弄清条件的本质特点，以便重新组合应用，从本题两种解法看，由于构造函数的不同第二种方法更简捷明了( 12xx,xln(1，x)变式2:当,0时，求证:不等式,成立( 2 分析:首先构造函数，然后由单调性证明,0( f(x)f(x) 2x112,证明:设=(x,0)，则==( f(x)ln(1，x)f(x),x，x,1，x1，x21，x ,xx当,时，,0，因此在内为增函数，于是当,0时，总有f(x)f(x)(,1,，,)f(x),1 12x,= 0，?当,0时，不等式,成立( x,xf(0)ln(1，x)2 通过考察函数的单调性证明不等式是常用的一种方法，根据题目自身的特点，适当构造 函数关系，在建立函数关系式时，应尽可能选择求导和判断导数都比较容易的函数(一般地， ,证明,，，可等价转化为证明,,0，利用f(x)g(x)x,(a,b)F(x),f(x)g(x)F(x) ,0，则函数在上是增函数，否则为减函数的方法加以证明( F(x)(a,b) ax(1),例二(已知函数( fxx()ln,,x，1 a(?) 若函数在上为单调增函数，求的取值范围; fx()(0,)，, mnmn,，，m,(?) 设，，且，求证:( n,Rmn,lnln2mn, 1(1)(1)axax，,,fx(),,解:(?) 2xx(1)， 22(1)2xax，,xax，,，(22)1,, ( 22xx(1)，xx(1)， 因为fx()在(0,)，,上为单调增函数， fx()0,所以在(0,)，,上恒成立( 2xax，,，,(22)10(0,)，,即在上恒成立( 2xax，,，,(22)10x,，,(0,)当时，由， 1得( 22ax,,，x 1x,，,(0,)设，( gxx(),，x 11gxxx()22,，,,,( xx 1x,gx()所以当且仅当，即时，有最小值( 2x,1x 所以( 222a,, 所以( a,2 a(,2],,所以的取值范围是( m (?)不妨设，则( ,1mn,,0n mnmn,，要证,， lnln2mn, mm,，11nn只需证， ,m2lnn m2(1),mn即证( ln,mn，1n m2(1),mn只需证( ln0,,mn，1n 2(1)x,设( hxx()ln,,x，1 m由(?)知hx()在(1,)，,上是