一阶逻辑基本概念.pptVIP

第4章 一阶逻辑基本概念;本章说明;命题逻辑的缺陷;2. 不能描述命题间的逻辑联系 例如，逻辑学中著名的苏格拉底三段论： P：所有人必死 Q：苏格拉底是人 R：苏格拉底必死 表示为命题逻辑：应该有 (P?Q) ?R，也就是公式(P?Q)?R应该是恒真的。 显然该公式不是恒真的，解释{P，Q，?R}就能弄假该公式。;原因：命题R和命题P, Q是有内在关系的，只是这种关系在命题逻辑中无法表示。 因此，需要对命题的成分、结构和命题间的共同特性等作进一步的分析，分析出个体词、谓词和量???，以期达到表达出个体与总体的内在联系和数量关系，这正是谓词逻辑所要研究的问题。;本章内容;4.1 一阶逻辑命题符号化;个体词及相关概念;个体常项：表示具体或特定的客体的个体词，用小写字母a, b,c，…表示。 个体变项：表示抽象或泛指的客体的个体词，用x,y,z,…表示。 个体域（或称论域）：指个体变项的取值范围。 可以是有穷集合，如{a, b, c}, {1, 2}。 可以是无穷集合，如N,Z,R,…。 全总个体域（universe）——由宇宙间一切事物组成 。;谓词及相关概念;谓词常项：表示具体性质或关系的谓词。用大写字母表示。如(1)、 (2) 、(3) 中谓词F、G、H。 谓词变项：表示抽象的、泛指的性质或关系的谓词。用大写字母表示。如(4) 中谓词L。 n(n?1)元谓词：P(x1,x2,…,xn)表示含n个个体变项的n元谓词。 n=1时，一元谓词——表示x1具有性质P。 n≥2时，多元谓词——表示x1,x2,…,xn具有关系P。 0元谓词：不含个体变项的谓词。如F(a)、G(a,b)、 P(a1,a2,…,an)。若F、G、P为谓词常项，则上述0元谓词为命题常项；若F、G、P为谓词变项，则为命题变项。 ;谓词的形式化定义; D={2, 3, 4} 设P(x)：x大于3，则P(x)为一元谓词。 指定元素--命题：P(2)=0, P(3)=0, P(4)=1 设P(x,y)：x大于y,则P(x,y)为二元谓词。 指定元素--命题：P(2,3)=0, P(4,2)=1 设P(x,y,z)：若x+y-1=z，则P(x,y,z)为1，否则为0 。则P(x,y,z)为三元谓词。 指定元素--命题：P(2,3,4)=1,P(4,2,2)=0;例题;用谓词的概念可将苏格拉底三段论做如下的符号化： 令H(x)表示 “x是人”，M(x)表示 “x必死”。 则三段论的三个命题表示如下：P： H(x)?M(x)Q： H(苏格拉底)R： M(苏格拉底); 令命题P為：所有人都会死 ，其否定命題為 ?P = ?(H(x)?M(x)) = ?(?H(x)?M(x)) = H(x)??M(x) 亦即，命题 P“所有人都会死” 的否定命题是 “所有人都不會死”。这和人们对命题 ???所有人都必死”的否定的理解並不一致。;原因——命题P的确切意思应该是： “对任意x，如果x是人，则x必死”。 但是 H(x)?M(x) 中并没有确切的表示出 “对任意x”这个意思，因此，在谓词逻辑中除引进谓词外，还需要引进 “对任意x”这个语句，及其对偶的语句 “存在一个x”。 ;量词（quantifier）是表示个体常项或个体变项数量屬性的词。 1. 全称量词：符号化为“?” （All） 日常生活和数学中所用的“一切的”、“所有的”、“每一个”、“任意的”、“凡”、“都”等词可统称为全称量词。 x表示个体域里的某個个体，?x F(x)表示个体域里所有个体都有性质F。 2.存在量词：符号化为“?” （Exist） 日常生活和数学中所用的“存在”、“有一个”、“有的”、“至少有一个”等词统称为存在量词。 y表示个体域里某個个体，?y G(y)表示个体域里存在个体y具有性质G。 ;引入谓词后，命题P就可确切地符号化如下： ?x(H(x)?M(x))命题P的否定命题为： ?P = ?(?x(H(x)?M(x))) = ?x(H(x)??M(x))亦即 “至少有一个人是不死的”。这个命题才是 “所有人都要死”的否定。 三段论的三个命题，在谓词逻辑中可以如下表示： P：?x(H(x)?M(x)) Q：H(苏格拉底) R：M(苏格拉底) 以后可以证明，在谓词逻辑中，R是P和Q的逻辑结果。 ;;不便之处;不便之处(续);不便之处的根源;特性谓词;例 将下面两个命题符号化: (1) 所有的老虎都会吃人。 (2) 有些人登上过月球。 ;;谓词逻辑符号化的规则;例题;例题(续);例题(续);例题(续);例题 n元谓词的符号化;一阶逻辑命题符号化时需要注意的事项;量词的语义规定;?xG(x)是命题 “存在一个x0?D，使得G(x0)成立”。