5-2指数切线放缩.docx

学习数学 领悟数学 秒杀数学 第五章 导数 PAGE PAGE 1 专题2 指数切线放缩 秒杀秘籍：第一讲 由ex≥x+1引出的放缩 = 1 \* GB3 ①．（用替换，切点横坐标是），通常表达为． = 2 \* GB3 ②．（用替换，切点横坐标是），平移模型，找到切点是关键． = 3 \* GB3 ③．（用替换，切点横坐标满足），常见的指对跨阶改头换面模型，切线的方程是按照指数函数给予的． = 4 \* GB3 ④（用替换，切点横坐标是）；通常有的构造模型． 在一些解答题的书写过程中，通常要用上“指数找基友”模型，具体一些书写过程大家可以参照秒1的“对数单身狗，指数找基友”专题，这里不详述． 【例1】（2019?济宁二模）已知，为正实数，直线与曲线相切，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 【解析】根据，则，故，故 ，当且仅当时等号成立，此时取得最小值2．故选． 【例2】（2019?江西模拟）已知函数，，函数的最小值，则实数的最小值是（ ） A． B． C． D． 【解析】，切点满足条件，即，，显然时可以获得相切取等条件，此题小用了同构式模型求最值，减低计算成本，的最小值为0．故选． 【例3】（2019?山东模拟）设函数． （1）讨论的单调性； （2）若对恒成立，求的取值范围．全套资料请联系QQ3545594869微信LINZI8848888 【解析】（1）由函数的解析式可得：，当时，，在上单调递增， 当时，由可得，则 单调递减， 单调递增．全套资料请联系QQ3545594869微信LINZI8848888 （2）法一：由题意可得：，恒成立，很明显不合题意，当时，原问题等价于指数函数 的图象恒在的上方，直线恒过定点，考查函数 过的切线方程：易知切点坐标为，切线斜率为，故切线方程为：，切线过，故，解得：，综上可得，实数的取值范围是． 法二：构造函数，显然恒成立，当仅当时等号成立，要使恒成立，很明显不合题意，令，即，当仅当取得相切等号，故． 秒杀秘籍：第二讲 二次函数处在特殊位置相切的放缩表达式 = 5 \* GB3 ⑤处的相切构造：；． = 6 \* GB3 ⑥处的相切构造：． 【例4】（2019?长春四模）已知函数． （1）求函数的极值； （2）若对任意，有解，求的取值范围． 【解析】（1）令，全套资料请联系QQ3545594869微信LINZI8848888 0 0 极小值 ，无极大值； （2）对任意，即，设，， ①当时，单调递增，，，单调递增，，成立； ②当时，令，，单调递增，，，单调递增，，成立； ③当时，当时，，单调递减，，，单调递减，，不成立．综上，． 【例5】（2019?洛阳一模）已知函数． （1）若曲线在处的切线的斜率为，求的值； （2）若，求证：当时，的图象恒在轴上方． 【解析】（1）函数．可得，曲线在处的切线的斜率为， ，． （2）法一：，令，，（ⅰ）当时，，单调递增，，单调递增，，满足题意．（ⅱ）当时，，解得．当，，单调递减；当，，单调递增，此时，，，即，单调递增，，满足题意． 综上可得：当且时，的图象恒在轴上方． 法二：构造函数，，显然在区间单调递减，故，即，命题得证． 【例6】（2019?南雄模拟第二问）证明：． 【解析】构造，则，当时，，；当时，，得，所以对任意恒成立， 要证，等价于证， （当且仅当时等号成立）即（当且仅当时等号成立）． 【例7】（2019?越秀期末）若对任意的恒成立，求的取值范围． 【解析】由得（当且仅当时等号成立）， 又（当且仅当时等号成立），得，即． 【例8】（2019?郑州二模）已知函数． 求曲线在处的切线方程； 求证：当时，．全套资料请联系QQ3545594869微信LINZI8848888 【解析】（1），，，，所以曲线在处的切线方程为，即； （2）法一常规法：令，则，当时，，当时，，所以函数在上单点递减，在上单点递增，，所以函数在上单调递增，又曲线在处的切线方程为，，可猜测函数的图像恒在切线的上方．先证明当时，，设，，，当时，，当时，，所以函数在上单点递减，在上单点递增，由，，，所以，所以存在，使得，所以当时，，当时，，所以在单调递增，在单调递减． 因为，所以，即，当且仅当时取等号，所以当时，，变形可得，又，当且仅当时取等号，所以，当且仅当时取等号，得证． 法二秘籍法：构造，则，当时，，当时，，得，所以对任意恒成立（当且仅当时取），要证等价于证，即证，即（当且仅当时取）得证．全套资料请联系QQ3545594869微信LINZI8848888 秒杀秘籍：第三讲 反比例函数在特殊位置相切的放缩表达式