沪教版 八年级(上)数学 秋季课程 第16讲 添加辅助线(解析版).doc

班假暑级年八 班假暑级年八 PAGE PAGE20/ NUMPAGES20 辅助线的添加 辅助线的添加 内容分析 内容分析 当几何题难以证明或者比较繁时，可以考虑添加辅助线，帮助解题，添加辅助线的目的是把分散的条件集中到一个三角形或者两个三角形中，构造出全等三角形或者等腰三角形，运用它们的判定或者性质解决问题，本节主要是对几何证明做一总结和拓展． 知识结构 知识结构 模块一：根据图形补形添线 模块一：根据图形补形添线 知识精讲 知识精讲 常用的辅助线有： 联结两个点得到线段； 过某一点做平行线或者垂线； 延长某一条线段，构造特殊的三角形． 例题解析 例题解析 ABCD如图，已知AD∥BC，∠B=∠C，求证：AB A B C D （ ）． A．延长BA、CD交于点E； B．过点A、D作AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别为E、F； C．联结AC、BD； D．过点B、C作BE⊥AD，CF⊥AD，垂足分别为E、F． 【答案】C 【解析】A、B、D都能够通过全等三角形得到结论． 【总结】考察三角形全等的判定． BCDA如图，AB=AD，BC=CD，求证：∠ABC= B C D A 【解析】联结AC ∵AB=AD，BC=CD，AC=AC ∴ ∴∠ABC=∠ADC． 【总结】考察三角形全等的判定及全等三角形的性质． ABCDE如图，五边形ABCDE中，AB=AE，BC=DE，∠ A B C D E 求证：∠BCD=∠EDC． 【解析】联结AC、AD ∵AB=AE，BC=DE，∠ABC=∠AED， ∴ ∴， ∴ ∵ ∴∠BCD=∠EDC． 【总结】考察三角形全等的判定和性质． ABCDEF如图，AB∥EF，∠B+∠C+∠ A B C D E F 【答案】540° 【解析】联结BD、BE ∵AB∥EF，∴ ∴∠B+∠C+∠D+∠E 【总结】考察平行线的性质及三角形内角和的性质定理． ABCDEFM如图，△ABC中，点D是BC的中点，过点D的直线交AB于点E，交AC的延长 线于点F，且BE= A B C D E F M 【解析】过C作CM∥AB交EF于M ∵CM∥AB，∴ ∵，， ∴ ∴ ∵BE=CF，∴CM=CF ∴ ∵CM∥AB ∴ ∴ ∴AE=AF． 【总结】考察平行线辅助线的添加以及平行线的性质和全等三角形性质的综合运用． 如图，已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，BD平分∠ABC交AC于点D， CE⊥BD交BD的延长线于点E，求证：BD=2CE． A A B C D E F 【解析】延长BA、CE交于点F ∵， ∴ ∵，，AB=AC， ∴ ∴ ∵，，EB=BE， ∴ ∴，即 ∵，∴BD=2CE 【总结】考察等腰三角形的性质． 如图，在△ABC中，CE是∠ACB的平分线，AF⊥CE于点F， ABCEFD求证：∠CAF A B C E F D 【解析】延长AF交BC于D ∵，，CF=CF， ∴ ∴ ∵ ∴∠CAF=∠EAF+∠ABC． 【总结】考察等腰三角形的性质及三角形外角性质的综合运用． 如图，△ABC中，点D、E分别在BC、AC的延长线上，且C是AE的中点， ABCDEM∠B+∠D=180 A B C D E M 【答案】略． 【解析】过A作AM∥ED交BD于M ∵AM∥ED，∴ ∵，， ∴ ∴ ∵AM∥ED，∴ ∵∠B+∠D=180°，∴∠B+∠AMC=180°， ∵∠AMB+∠AMC=180°，∴ ∴ ∵， ∴AB=DE． 【总结】考察平行线辅助线的做法． 两个全等的含30°、60°角的三角板ADE和三角板ABC如图所示放置，E、A、C三点在一条直线上，连接BD，取BD的中点M，连接ME、MC，试判断△EMC的形状，并求证． A A B C D E M 【答案】△EMC是等腰直角三角形，证明见解析． 【解析】△EMC是等腰直角三角形，联结AM ∵， ∴ ∵ ∴ ∴△DAB是等腰直角三角形 ∵M是BD的中点 ∴ ∴ ∵，， ∴ ∴， ∵ ∴ ∴△EMC是等腰直角三角形． 【总结】考察三角形全等的判定和性质以及等腰三角形的判定．  如图，△ABC中，BD、CE相交于点O，∠1=∠2=∠A，求证：BE=CD． A A B C D E F O 1 2 【答案】见解析 【解析】延长CE到F，使得OF=OD，联结BF ∵∠1=∠2，∴ 又∵，OF=OD， ∴ ∴， ∵， ∴ ∵，∴，∴． ∵，∴BE=CD． 【总结】考察三角形全等的判定和性质的综合运用，注意辅助线的合理添加． 如图，在直角△ABC和直角△ADE中，∠C=∠E =90°，BC=DE， ABCDEF∠BAE=∠DAC，BC与DE交于点F A B C D E F 【答案】见解析 【解析】联结AF ∵∠BAE=∠DAC， ∴，即 ∵∠C=∠E ，