第二节线性相关性.pptx

第二节 线性相关性 定义2.1 (向量组线性相关性定义一 ) 向量组A: 称为线性相关, 若至少有一个 向量可表示为其余向量的线性组合. 称为线性无关, 若每个向量都 不可表示为其余向量的线性组合. 向量组A: 例1 下列向量组中的向量存在线性关系吗? 解: 线性相关 例1 下列向量组中的向量存在线性关系吗? 解: 即 线性无关 定义2.2 (向量组线性相关性定义二 ) 向量组A: 称为线性相关, 若存在不全为0 的数 使 称为线性无关, 若 当且仅当 都为0. 向量组A: 例2 (两个向量的线性相关性) 判断下列向量组是否线性相关 解: 线性相关 不可能 同理 线性无关 对应分量成比例 向量共线 (平行) 两个向量线性相关性的几何意义 线性相关(共线或平行) 线性无关(不共线不平行) 例3 解: 是否存在不全为0的 使 即 方程组有无非零解? 有非零解 线性相关 三个向量线性相关性的几何意义 线性相关(共面) 线性无关(不共面) (例1) 向量组的线性关系式 就是齐次线性方程组 只有零解 线性无关 有非零解 线性相关 定理2.1 系数矩阵 例4 用观察法判断下列向量组是否线性相关 (1) 解: 4个三维向量 线性相关 总结: n个m维向量 必线性相关 . (2) 解: 线性相关 总结: 含零向量的向量组 必线性相关 . 例4 用观察法判断下列向量组是否线性相关 (3) 解: 两个向量不是倍数关系, 线性无关. 例4 用观察法判断下列向量组是否线性相关 例5 例6 设向量组A: 线性相关, 证明:向量组B: 也线性相关. 证: 线性相关, 存在不全为0的数 使 有 不全为0, 向量组A 也线性相关. 向量组B 总结: 向量组线性相关, 增加向量后仍线性相关. 等价命题: 向量组线性无关, 减少向量后仍线性无关. 例7 设向量组A: 线性无关, 向量组B: 线性相关, 证明: 的线性组合,且表示法唯一. 证: 线性相关, 向量组B 存在不全为0的数 使 存在不全为0的数 使 即 线性相关, 矛盾, 线性无关, 总结: 下列命题等价 (1) A可逆 (若A是方阵) (2) 只有零解 (3) 矩阵A的列线性无关 (4) (5) (1’) A不可逆 (若A是方阵) (2’) (3’) 矩阵A的列线性相关 (4’) (5’) 有非零解 (若A是方阵) (若A是方阵) 例8 判断A的列是否线性相关. 解: (法一) 解: (法二) 的列线性无关. 的列线性无关. 作业 100页 3 4 5 6