初中平面几何最值六法.pdf

几何最值六法 （将军饮马，辅助圆，瓜豆，胡不归，阿氏圆，费马点） 最值系列之——将军饮马 一、什么是将军饮马？ 【问题引入】 “白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李颀 《古从军行》里的一句诗。而由此却引申出一系列 非常有趣的数学问题，通常称为 “将军饮马”。 【问题描述】 如图，将军在图中点A处，现在他要带马去河边喝水，之后返回军营，问：将军怎么走能使得路程最短？ 【问题简化】 如图，在直线上找一点P使得PA+PB最小？ 【问题分析】 这个问题的难点在于PA+PB是一段折线段，通过观察图形很难得出结果，关于最小值，我们知道 “两点之间， 线段最短”、“点到直线的连线中，垂线段最短”等，所以此处，需转化问题，将折线段变为直线段． 【问题解决】 作点A 关于直线的对称点A’，连接PA’，则PA’=PA，所以PA+PB=PA’+PB 当A’、P、B 三点共线的时候，PA’+PB=A’B，此时为最小值（两点之间线段最短） 【思路概述】 作端点（点A 或点B）关于折点（上图P 点）所在直线的对称，化折线段为直线段． 1 31 第 页 共 页 二、将军饮马模型系列 【一定两动之点点】 在OA、OB上分别取点M、N，使得△PMN周长最小． 此处M、N均为折点，分别作点P关于OA（折点M所在直线）、OB（折点N所在直线）的对称点，化折线段PM+MN+NP 为P’M+MN+NP’’，当P’、M、N、P’’共线时，△PMN周长最小． 【例题】如图，点P是∠AOB 内任意一点，∠AOB=30°，OP=8，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点， 则△PMN周长的最小值为___________． 【分析】△PMN周长即PM+PN+MN 的最小值，此处M、N均为折点，分别作点P关于OB、OA对称点P’、P’’，化 PM+PN+MN 为P’N+MN+P’’M． 当P’、N、M、P’’共线时，得△PMN周长的最小值，即线段P’P’’长，连接OP’、OP’’，可得△OP’P’’为 等边三角形，所以P’P’’=OP ’=OP=8． 【两定两动之点点】 在OA、OB上分别取点M、N使得四边形PMNQ 的周长最小。 考虑PQ 是条定线段，故只需考虑PM+MN+NQ 最小值即可，类似，分别作点P、Q 关于OA、OB对称，化折线段 PM+MN+NQ 为P’M+MN+NQ’，当P’、M、N、Q’共线时，四边形PMNQ 的周长最小。 2 31 第 页 共 页 【一定两动之点线】 在OA、OB上分别取M、N使得PM+MN 最小。 此处M 点为折点，作点P关于OA对称的点P’，将折线段PM+MN转化为P’M+MN，即过点P’作OB垂线分别交 OA、OB于点M、N，得PM+MN 最小值（点到直线的连线中，垂线段最短） 三、几何图形中的将军饮马 【寻找几何图形中端点关于折点所在直线的对称点位置】 1．正方形中的将军饮马 【关于对角线对称】 如图，正方形ABCD的边长是4，M在DC上，且DM=1，N是AC边上的一动点，则△DMN周长的最小值是___________． 【分析】考虑DM为定值，故求△DMN周长最小值即求DN+MN 最小值． 点N 为折点，作点D 关于AC 的对称点， 即点B，连接BN交AC 于点N，此时△DMN周长最小． 【假装不存在的正方形】 （2019 ·山东聊城）如图，在Rt△ABO 中，∠OBA=90°，A （4,4），点C在边AB上， 且AC:CB=1:3，点D 为OB 的中点，点P为边OA上的动点，当点P在OA上移动时，使四边形PDBC周长最小的 点P 的坐标为( ) 5 5 8 8 A．(2,2) B． ，( ) C． ，( ) D．(3,3)