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龙岩市2020届高三1月质量检查(数学理)答案 PAGE 龙岩市2019～2020学年第一学期期末高三教学质量检查 数学（理科）试题参考答案及评分细则 一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分60分． 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C C A B B D B D A C B C 11题略解：转化为 与的对称轴均为，由对称性可知 当且即时，满足条件 12题略解：（法一）设的中点为，则为球心， 当即，方向相同时，取最大值为4 （法二）可将四面体放置于正方体中，建系求解 二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分20分． 13. 14.1 15. 16.② ④ 16题略解：可知①是明显错误的 对于②，由得，所以②正确 对于③④， ，所以④正确，③是错误的. 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。满分70分。 17.（本小题满分12分） 解：（1） =. 3分 的最小值为，，解得 5分 （2）由得，,, , 解得 7分 ， 10分 由正弦定理，得，得，即. 12分 18.（本小题满分12分） 证明：（1）连接，，， 分别是，的中点， 又，，平面，平面 平面 2分 分别是，的中点，， 四边形为平行四边形 又， 四边形是平行四边形，， 平面，平面 平面 4分 ，平面平面， 又平面，∴平面 6分 （第18题图）（2）以为坐标原点，分别以所在直线为轴，轴，轴， （第18题图） 如图所示建立空间直角坐标系，设正方体棱长为2， 则，，，， ，， 在线段上，令（）， 则， ………………………………8分 设是平面的法向量，则 ，即，取得， ………………………………10分 设直线与平面所成角为，则 ，时， 直线与平面所成角的正弦值的最大值 12分 19.（本小题满分12分） 解：（1）假设至年底每户年均纯收入能达到1.32万元，由已知可得： 每户的平均收入为： 2分 令 化简,得,解得: 4分 因为, 且，可得:, 所以,当从事包装、销售的户数为16，20,24,28,32，36户时能达到每户平均纯收入1.32万元. 6分 （2）由已知可得：至年底,种植户每户平均收入为 8分 令，得：, 由题所给数据,知:,所以, 11分 所以,的最小值为, , 即至少抽出户从事包装、销售工作. 12分 20.（本小题满分12分） 解：（1）设动圆半径为，由于在圆内，故圆与圆内切， 则，， ， 2分 由椭圆定义可知，点的轨迹是以、为焦点，实轴长为4的椭圆， ，，， 4分 轨迹的方程为. 5分 （2）若或的斜率不存在，四边形的面积……6分 若两条直线的斜率都存在，设的斜率为，则的斜率为 则的方程为，的方程为 联立方程组，得， 由韦达定理得，， 8分 设，则 同理可得 10分 ∴ 当且仅当，即时等号成立. ，因此当时，四边形的面积取得最小值为. 12分 另解一： 当即时等号成立 另解二：也可以令换元求解. 21.（本小题满分12分） 解：（1） 1分 令 ①当时，在上单调递减 ②当时，由得 当时，当时， 在上单调递减，在上单调递增 ③当时，，在上单调递减 ④当时，由得 当或时，， 当时， 在，上单调递减, 在上单调递增 综上所述， 当时，在上单调递减， 在上单调递增； 当时，在上单调递减； 当时，在，上单调递减， 在上单调递增. 5分 （2）由（1）得时，有两个极值点，设 则有且 6分 8分 令 令，则 10分 当时，，在区间单调递增 在区间单调递减 综上， 12分 22．（本小题满分10分） 解：（1）因为，，两式相减，有 所以的直角坐标方程为. 3分 直线的直角坐标方程为. 5分 （2）联立与的方程，有，消，得 7分 因为与相切，所以有， 9分 解得：. 10分 23. （本小题满分10分） 证明：（1）由，可得 当且仅当时，等号成立． 5分 （2）∵ ∴ 即，当且仅当时，等号成立． ∴ 10分