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恒成立问题与有解问题的区别 恒成立问题与有解问题的区别 PAGE 恒成立问题与有解问题的区别 恒成立问题与有解问题的区别 恒成立与有解问题一直是中学数学的重要内容。它是函数、不等式等内容交汇处的一个较为活跃的知识点，在近几年的试题中，越来越受到命题者的青睐，涉及恒成立与有解的问题，有时在同一套试题中甚至有几道这方面的题目。 1、恒成立问题 恒成立问题与一次函数联系 给定一次函数y=f(x)=ax+b(a≠0)，若y=f(x)在[m，n]内恒有f(x)0，则根据函数的图象（直线)可得上述结论等价于 ⅰ) EQ \B\lc\{(\a(a0,f(m)0)) 或ⅱ) EQ \B\lc\{(\a(a0,f(n)0)) ，亦可合并定成 EQ \B\lc\{(\a(f(m)0,f(n)0)) ， 同理，若在[m，n]内恒有f(x)0，则有 EQ \B\lc\{(\a(f(m)0,f(n)0)) 对于满足|p|≤2的所有实数p，求使不等式x2+px+12p+x恒成立的x的取值范围。 分析：在不等式中出现了两个字母：x及P，关键在于该把哪个字母看成是一个变量，另一个作为常数。显然可将p视作自变量，则上述问题即可转化为在[-2，2]内关于p的一次函数大于0恒成立的问题。 解：不等式即(x-1)p+x2-2x+10，设f(p)= (x-1)p+x2-2x+1，则f(p)在[-2，2]上恒大于0，故有： EQ \B\lc\{(\a(f(－2)0,f(2)0)) 即 EQ \B\lc\{(\a(x2－4x+30,x2－10)) ，解得： EQ \B\lc\{(\a(x3或x1,x1或x－1)) ∴x-1或x3. 恒成立问题与二次函数联系 若二次函数y=ax2+bx+c=0(a≠0)大于0恒成立，则有 EQ \B\lc\{(\a(a0,△0)) ，若是二次函数在指定区间上的恒成立问题，还可以利用韦达定理以及根与系数的分布知识求解。 设f(x)=x2-2ax+2，当x∈[-1，+∞)时，都有f(x)≥a恒成立，求a的取值范围。 分析：题目中要证明f(x)≥a恒成立，若把a移到等号的左边，则把原题转化成左边二次函数在区间[-1，+∞)时恒大于0的问题。 解：设F(x)= f(x)-a=x2-2ax+2-a. ⅰ)当△=4(a-1)(a+2)0时，即-2a1时，对一切x∈[-1，+∞)，F(x)≥0恒成立； -1oⅱ)当△=4(a-1)(a+2)≥0时，则由图可得： EQ \B\lc\{(\a(△≥0, f(－1)≥0,－ EQ \f(－2a,2)≤－1))即 EQ \B\lc\{(\a((a－1)(a+2)≥0,a+3≥0,a≤－1)) ，得-3≤a≤-2 -1 o 综合可得a的取值范围为[-3，1]。 设f(x)=x2－2ax+2，当x∈[－1，+∞)时，都有f(x)≥a恒成立，求a的取值范围。 分析：题目中要证明f(x)≥a恒成立，若把a移到等号的左边，则把原题转化成左边二次函数在区间[－1，+∞)时恒大于0的问题。 解：设F(x)=f(x)－a=x2－2ax+2－a 当a≤－1时，F(x)在[－1，+∞)上单调递增，只需F(－1)≥0，即1+2a+2－a≥ ∴－3≤a≤－1 ②当a－1时，F(x)在[－1，a]上单调递减，在[a，+∞)上单调递增 只需F(a)≥0，即a2－2a2+2－a≥0，得－2≤a≤1 综合可得a的取值范围为[－3，1]。 恒成立问题与变量分离联系 若在等式或不等式中出现两个变量，其中一个变量的范围已知，另一个变量的范围为所求，且容易通过恒等变形将两个变量分别置于等号或不等号的两边，则可将恒成立问题转化成函数的最值问题求解。 已知当x∈R时，不等式a+cos2x5-4sinx+a2恒成立，求实数a的取值范围。 分析：在不等式中含有两个变量a及x，其中x的范围已知（x∈R)，另一变量a的范围即为所求，故可考虑将a及x分离。 解：原不等式即：4sinx+cos2xa2-a+5 要使上式恒成立，只需a2-a+5大于4sinx+cos2x的最大值，故上述问题转化成求f(x)=4sinx+cos2x的最值问题。 f(x)= 4sinx+cos2x=-2sin2x+4sinx+1=-2(sinx-1)2+3≤3， ∴a2-a+53即a2－a－20 解得a－1或a2。 注：注意到题目中出现了sinx及cos2x，而cos2x=1-2sin2x，故若把sinx换元成t，则可把原不等式转化成关于t的二次函数类型。 2、有解问题 不等式kx2+k－20有解，求k的取值范围。 解：不等式kx2+k－20有解? k(x2+1)2有解? k EQ \f(2,x2+1)有解? k( EQ \f(2,x2+1))max=2， ∴k∈(－∞，2)。 对于