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弗赖登塔尔的数学教育思想 弗赖登塔尔的数学教育思想 PAGE 弗赖登塔尔的数学教育思想 弗赖登塔尔的数学教育思想 ? 荷兰数学家、数学教育家弗赖登塔尔是国际上知名的数学教育方面的权威学者。在他担任国际数学教育委员会(1CMl)主席期间，召开了第一届国际数学教育大会(ICME—1)，并创办了《Educational Studies in Mathematics》杂志，现任ICMI主席(巴黎十一大学校长)加亨(Kahane)教授曾评价说“对于数学教育，本世纪的上半叶Felix Klein做出了不朽的功绩；本世纪的下半叶Hans Freudenthal做出了巨大的贡献。” 作为一位数学家，弗赖登塔尔30年代就享有盛誉，从50年代起就逐渐转向数学教育的研究，形成了他自己的独到的观点。他的数学教育理论与思想，完全是从数学教育的实际出发，用数学家和数学教师的眼光审视一切，可以说已经摆脱了“教育学”，(或“心理学”)加数学例子这种“传统的”数学教育研究模式，抽象概括成他独有的系统见解，这也许是他最重要的贡献，也正是我们特别需要借鉴之处。 第一节 关于现代数学特性的论述 数学教育的研究不能离开它的对象——数学的特有规律，进入20世纪以来，数学发展的突飞猛进，迫使当代社会的数学教育必须充分考虑到现代数学的特点。为此，弗赖登塔尔从数学发展的历史出发，深入研究了数学的悠久传统，以及现代数学形成的背景，提出了现代数学的转折点，是否应该以现代实数理论的诞生和约当(Jordan)的置换群的产生作为标志；或者是另一种看法，那是以著名的布尔巴基(Bourbaki)理论的出现，作为一个新时期的开端。基于这一分析，弗赖登塔尔认为现代数学的特性，可以归结为以下几个方面： 1．数学表示的再创造与形式化活动。如果认真分析一下近几十年来数学的变化，就会发现变的主要是它的外表形式，而不是它的内容实质。这是一个自然演变的过程，在数学的各个领域内，逐斩渗透与发展了各种新知识与新词汇，最终汇成一个新潮流——形式化，这是组织现代数学的重要方法之一，也是现代数学的标志之一。事实上，这个形式化过程还在继续不断地演变着，新的形式在不断地创造着，形式化的进程也许刚开始，它将以更自觉的方式继续活动。 微积分的发展是一个例子，当牛顿、莱布尼兹开始引入微分、积分以及无穷小的时候，这都是一些具有某种直观背景的模糊观念。根据某些实际需要，对它们进行各种描述，以及各种运算；经过了一段很长的历史，才逐渐形成了极限的概念，才有了—形式的定义，于是微积分才有严密、精确而又完整的外衣，也才形成了清晰而又相容的逻辑演绎体系，这是对长期的非形式化运算过程进行形式化改造的结果。 再如表示一个函数的符号，为什么应该记作f，而不宜写作f(x)、这个道理很难叙述清楚，尤其是在只涉及几个具体函数的有限范围内，人们很不容易理解它的必要性，可是当你进入泛函分析的领域，要涉及函数的集合以及它们生成的空间，甚至进一步讨论空间之间的映射等等时，这种表达形式的精确化，随着讨论对象的日益抽象，涉及面的日益广泛，而愈来愈显出它的迫切性，这时才能体会表示形式的变化是不可避免的。 形式化要求以语言为工具，按逻辑的规律，有意识地精确地表达严密的数学含义，不容许混淆，也不容许矛盾。换句话说，数学需要有自己特定的语言，严密、精确、完整而且相容。随着数学抽象程度的提高，语言表达的严密性日益增强，甚至像计算机语言似的向着符号逻辑的趋势发展。但这种数学语言的发展显然也不是绝对的，需要有个过程，这也就反映了数学有各种不同程度的形式化，在特定环境下，可以为特定的目的，构造不同的形式化语言。 根据弗赖登塔尔的分析，我们认为现代社会的数学教育，当然不可能要求一下子飞跃到20世纪数学发展的最前沿，以形式化的现代数学内容，充塞于各种课程、教材之中。因为教育必然有一定的滞后性，儿童、少年的生理、心理发展规律，也必须要求以直观的具体的内容作为抽象的形式的背景与基础，可是最终应该达到的目的是，使学生理解现代数学这一以特定的数学语言表达的形式体系。当然这里有各种不同的要求，因而也要掌握不同层次的形式化，并且运用着不同水平的数学语言。于是如何根据学生的情况，培养他们从现实背景中，概括出各种数学的观念与运算，熟练地使用各种严谨的数学语言，有意识地占领并逐步建造起他们头脑中的不同形式体系，这一形式化活动的过程，就必须贯穿在数学教育的始终。 2．数学概念的建设方法，从典型的通过外延描述的抽象化，进而转向实现公理系统的抽象化，承认隐含形式的定义，从而在现代科学方法论的道路上，迈开了决定性的一步。要是把康脱(Cantor)的集合论的创造，作为现代数学的开端，你就会看到建设概念的典范是通过“外延”来描述一个概念，