待定系数法分解因式(附答案)精编版.docx

必威体育精装版资料推荐 必威体育精装版资料推荐 PAGE PAGE # 待定系数法分解因式（附答案） 待定系数法作为最常用的解题方法，可以运用于因式分解、确定方程系数、解决 应用问题等各种场合。其指导作用贯穿于初中、高中甚至于大学的许多课程之中，认 真学好并掌握待定系数法，必将大有裨益。 内容综述 将一个多项式表示成另一种含有待定系数的新的形式，这样就得到一个恒等式。 然后根据恒等式的性质得出系数应满足的方程或方程组，其后通过解方程或方程组便 可求出待定的系数，或找出某些系数所满足的关系式，这种解决问题的方法叫做待定 系数法。 本讲主要介绍待定系数法在因式分解中的作用。同学们要仔细体会解题的技巧。 要点解析 这一部分中，通过一系列题目的因式分解过程，同学们要学会用待定系数法进行 因式分解时的方法，步骤，技巧等。 例 1 分解因式 思路 1 因为 所以设原式的分解式是 然后展开，利用多项式的恒等， 求出 m, n, 的值。 解法 1 因为 所以可设 比较系数，得 由①、②解得 把 代入③式也成立。 ∴ 思路 2 前面同思路 1，然后给 x,y 取特殊值，求出 m,n 的值。 解法 2 因为 所以可设 PAGE PAGE # ??????????????????????必威体育精装版资料推荐??????????????????? 因为该式是恒等式，所以它对所有使式子有意义的 x,y 都成立，那么无妨令 令得 解①、②得 或 把它们分别代入恒等式检验，得 ∴ 说明：本题解法中方程的个数多于未知数的个数，必须把求得的值代入多余的方 程逐一检验。若有的解对某个方程或所设的等式不成立，则需将此解舍去；若得方程 组无解，则说明原式不能分解成所设形成的因式。 例 2 分解因式 思路 本题是关于 x 的四次多项式， 可考虑用待定系数法将其分解为两个二次式之 积。 解设 由恒等式性质有： 由①、③解得 代入②中，②式成立。 ∴ 说明 若设原式 由待定系数法解题知关于 a 与 b 的方程组无解，故设原式 例 3 在关于 x的二次三项式中， 当 时，其值为 0；当 时，其值为 0；当 时，其值为 10 ，求这个二次三项式。 必威体育精装版资料推荐 必威体育精装版资料推荐 PAGE PAGE # 思路 1 先设出关于 x 的二次三项式的表达式，然后利用已知条件求出各项的系数。可 考虑利用恒待式的性质。 解法 1 设关于 x 的二次三项式为 把已知条件分别代入，得 解得 故所求的二次三项为 思路 2 根据已知 时，其值 0 这一条件可设二次三项式为 然 后再求出 a 的值。 解法 2 由已知条件知当 时，这个二次三项式的值都为 0，故可设这个二 次三项式为 把 代入上式，得 解得 故所求的二次三项式为 即 说明要注意利用已知条件，巧设二次三项式的表达式。 例 4 已知多项式 的系数都是整数。若 是奇数，证明这个多 项式不能分解为两个整系数多项式的乘积。 思路先设这个多项式能分解为两个整系数多项式的乘积，然后利用已知条件及其 他知识推出这种分解是不可能的。 证明：设 （ m,n,r 都是整数）。 比较系数，得 因为 是奇数，则 与 d 都为奇数，那么 mr 也是奇数，由奇 数的性质得出 m,r 也都是奇数。 在①式中令 ，得 ② 由 是奇数，得 是奇数。而 m 为奇数，故 是偶数，所以 是偶数。这样②的左边是奇数，右边是偶数。这是不可能的。 因此，题中的多项式不能分解为两个整系数多项式的乘积。 说明：所要证的命题涉及到“不能”时，常常考虑用反证法来证明。 例 5 已知 能被 整除，求证： 思路：可用待定系数法来求展开前后系数之间的关系。 证明：设展开，比较系数，得 证明：设 展开，比较系数，得 由①、②，得 ， 代入③、④得： ， ∴ 例 6 若 a 是自然数，且 的值是一个质数，求这个质数。 思路：因为质数只能分解为 1 和它本身，故可用待定系数法将多项式分解因式， 且使得因式中值较小的为 1，即可求 a 的值。进而解决问题。 解：由待定系数法可解得 由于 a 是自然数，且 是一个质数， 解得 当 时， 不是质数。 当 时， 是质数。 TOC \o 1-5 \h \z ∴ =11 . 培优训练 A级 ★★★ 1、分解因式 . ★★★ 2、若多项式 能被 整除，则 n= . ★★3、二次三项式当 时其值为 -3 ，当 时其值为 2，当 时其值为 5 ， 这个二次三项式是 . ★★4、 m, n 是什么数时，多项式 能被 整除？ B级 ★★★ 5、多项式 能分解为两个一次因式的积，则 k= . ★★★ 6、若多项式 能被 整除，则 . ★★ 7、若多项式 当 2 时的值均为 0，则当 x= 时，多项式 的值也是 0 。 ★★★ 8、求证： 不能分解为两个一次因式的积