范德蒙行列式的相关应用讲解.pdf

范德蒙行列式的相关应用 （一）范德蒙行列式在行列式计算中的应用 范德蒙行列式的标准规范形式是： 1 1 1 x1 x2 xn 2 2 2 D x x x (x x ) n 1 2 n i j n i j 1 n 1 n 1 n 1 x1 x2 xn 根据范德蒙行列式的特点， 将所给行列式包括一些非范德蒙行列式利用各种 方法将其化为范德蒙行列式， 然后利用范德蒙行列式的结果， 把它计算出来。 常 见的化法有以下几种： 1. 所给行列式各列 （或各行）都是某元素的不同次幂， 但其幂次数排列与范德蒙 行列式不完全相同，需利用行列式的性质（如提取公因式，调换各行（或各列） 的次序，拆项等）将行列式化为范德蒙行列式。 例 1 计算 1 1 1 2 n 2 2 2 D n 2 n 3 3 3 2 n n n n 解 Dn 中各行元素都分别是一个数自左至右按递升顺序排列， 但不是从 0 变 到 n r 。而是由 1 递升至 n 。如提取各行的公因数， 则方幂次数便从 0 变到 n 1 . 1 1 1 1 2 n 1 1 2 2 2 2 n 1 Dn n! 1 3 3 3 n !(2 1)(3 1) ( n 1)(3 2) (n 2) n (n 1) 2 n 1 1 n n n n !( n 1)!( n 2)! 2!1! 例 2 计算 n n a (a 1) (a n)