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电容式压力微传感器的数值分析 摘要 用伪谱算法对电容压力微传感器极板膜在均匀载荷条件下的弯曲行为作了数值模拟?叙述了伪谱算法原理，并将其用于微传感器的载荷与电容关系分析?对于非接触式电容压力微传感器，只有在小载荷的条件下，才可以忽略作用于极板膜的中平面的张力。此时，微传感器的电容与载荷之间呈线性关系。当进一步增加载荷时，两者的关系呈非线性，电容随载荷的增大迅速增加。对于接触式电容压力微传感器，给出了接触半径的计算公式，数值计算了载荷与电容关系曲线，为压力微传感器分析和设计提供了理论依据? 关键词 伪谱算法 电容压力微传感器 载荷与电容关系 作为一种微机电系统(MEMS)器件，电容压力微传感器具有灵敏度高、结构稳定、受外部环境影响小，以及无温度飘移等优点，在工业上有良好应用前景。电容压力微传感器的基本结构为双层平行板电容器：上极板为几个微米厚的薄膜， 其材料可为硅质、聚合物、氮化硅、金属或陶瓷薄膜，下极板以硅质、玻璃或其他绝缘性材料为衬底，下极板表面上附有一层厚度为零点几个微米的绝缘层。 当上极板膜承受的载荷不同时，它的弯曲程度不同，电容大小就会不同，测量电容大小的变化便可测量微传感器所受载荷大小的变化。电容与载荷之间的关系主要取决于上极板膜的弯曲程度，因此，研究极板膜的弯曲形变对电容压力微传感器的设计极为重要。 电容压力微传感器的工作方式有非接触式和接触式两种(见图1，a和b)： 非接触式工作原理是微传感器随着载荷变化引起上极板膜弯曲度变化，使微电容器两极板之间距离发生变化，进而导致电容发生变化，但动态范围受到一定限制； 接触式是指微传感器工作在载荷很大时，上极板膜受压后的弯曲度达到使之与绝缘薄膜相接触，并且随着载荷的进一步增加，接触面积也随着增加。它的工作原理是随着载荷变化引起接触面积发生变化，进而导致电容发生变化，使得动态范围大为扩充，具有良好的过载保护特性。 　研究电容压力微传感器极板膜的弯曲行为需要求解具有固定边界条件的四阶非线性微分方程，一般不能得到解析解。通常采用有限差分、有限单元等数值计算方法，或采用级数展开求近似解。在大载荷情况下，电容压力微传感器的电容与载荷关系分析是一个更困难的问题。伪谱算法是近30年来发展起来的一种求微分方程数值解的方法，具有精度高、收敛稳定等优点，而且适用于非线性微分方程的求解问题。 　　本文用伪谱算法对非接触式和接触式两种电容压力微传感器的电容与载荷之间的关系进行了数值分析。首先研究非接触模式， 阐述了伪谱算法求解具有固定边界条件和均匀载荷薄板弯曲问题的原理。通过数值解与解析解或近似解的对比，研究了算法的精度、可靠性和收敛性，并将算法用于电容压力微传感器电容与载荷之间关系的分析，给出了数值结果。然后，对接触模式作了研究，处理了其中遇到的一些特殊问题，给出了接触半径的计算公式，数值计算了载荷与电容关系曲线，为微传感器的设计奠定了理论基础。数值计算表明，伪谱算法不但能解决非接触式电容压力微传感器的从零载荷至接触载荷范围内的电容与载荷关系分析问题，而且能解决接触模式电容压力微传感器的电容与载荷关系数值分析问题。 图1 电容压力微传感器基本结构示意图 (a) 非接触式，(b) 接触式 1 非接触模式 图1为非接触式(a)和接触式(b)电容压力微传感器结构示意图，忽略边缘效应， 垂直于宽度方向的单位长度电容可以表示为 其中，ε0为真空中的介电常数，t为绝缘层的厚度，εri为绝缘层的相对介电常数，g为零载荷时电容器两极板之间的初始距离，a为极板膜的半宽度， w(x) 为极板膜的中平面相对于平衡位置(零载荷)的垂向位移，是极板膜弯曲程度的度量，依赖于载荷大小。由(1)式可见，电容表达式中含有未知函数w(x)，因此，求解极板膜在载荷作用下的垂向位移w(x)是压力微传感器分析的关键。 　　对于非接触式电容压力微传感器，在载荷q作用下，极板膜垂向位移w(x)的控制方程为 其中，D = Eh3/[12(1 ?v3)]为极板膜的抗弯刚度，E为杨氏模量，v为Poisson比，h 为极板膜的厚度。而极板膜的中平面所受的张力F为 边界条件可表述为：在极板膜两端，垂向位移w(x)及其一阶导数w′(x)为零： 方程(2) ～(4)构成了极板膜垂向位w(x)的四阶非线性微分方程的定解问题。求解该定解问题，再利用方程(1)就可以得到传感器的载荷和电容之间的关系。得到方程(2) ～(4)的解析解是困难的，这里我们用伪谱算法求该问题的数值解。 为此，首先将求解区域从 (?a ≤ x ≤ +a)变换为(?1 ≤ EQ \* jc1 \* Font:Times New Roman \* hps10 \o \ad(\s \up 9(^),x) ≤