特殊与一般思想.pdf

如果对你有帮助，请下载使用！ 特殊到一般的思想运用 江苏省昆山中学 缪 林 人类的认识活动，人们对于某类事物的认知， 总是先对具体的个别事物，通过观察、实 验、分析、综合，归纳出其甄选，再通过理性分析、逻辑推理加以证明，从特殊推及一般。 德国数学家希尔伯特说：在讨论数学问题时，特殊化比一般化起着更为重要的作用。 2 2 x y 例 1 已知点Ｐ是椭圆 2 2 1( a b 0) 上任一点，Ｆ为椭圆的焦点，求证：以Ｐ a b Ｆ为直径的圆总与某一定圆相切。 分析：设Ｆ为椭圆的右顶点，当Ｐ分别为椭圆的左、右顶点Ａ、Ｂ和上、下顶点Ｃ、Ｄ 时，分别以ＡＦ、ＢＦ、ＣＦ、ＤＦ为直径的同时内切于以原点为圆心半径为 a 的圆，由此 2 2 2 可猜想以ＰＦ为直径的圆总与圆 x +y ＝a 相切。 验证：设ＰＦ的中点为Ｍ，椭圆的另一焦点为Ｆ 1，易由三角形中位线定理和椭圆的定 1 1 1 义可得 OM PF1 (2a PF ) a PF ，所以圆Ｍ恒与圆Ｏ内切。 2 2 2 2 2 2 故以ＰＦ为直径的圆总与圆 x +y ＝a 相切。 注：由特殊情形归纳猜想结论，再验证一般情形下结论的正确性。 例 2 若数列 a 的各项均为正数， n N , a2 a a t （ 为常数） ，且 n n 1 n n 2 t a1 a3 2 a3 a2 a4 .(1)求 的值 ; (2)求证：数列 an 为等差数列 . a2 分析（ 1）令 n 1，则有 a2 a a t ① 令 n 2 ，则有 a 2 a a t ② 2 1 3 3 2 4 2 2 2 2 ① ②可得： a a a a a a a a a a a a a a a a a a 2 3 1 3 2 4 2 2 4 3 1 3 2 2 4 3 1 3 a1 a 3 a2 a4 2 a2 a3 （2 ）所给的递推公式中含有 t ，而且原递推公式也很难变形，所以考虑再写一个式子两式 相减，构造新的递推公式，仿照（