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2012 年省第十一届高等数学竞赛试题（专科）
一．填空（ 4 分*8=32 分）
4 3x 4
1. lim
x 4 1 6x 5
3 3 3
1 2 n
2. lim
4
n n
x
3
t sin tdt
0
3. lim
2 3
x 0 x sin x
( n)
4. y ln( 1 x) ，则 y
2
5. x arctanxdx
2 1
6. x arccos dx
1
x
x 1 y 3 z
7.点 (2,1, 3) 到直线 的距离为
1 2 2
k
n n
8.级数 ( 1) 为条件收敛，则常数 k 的取值围是
n 2 n 1
二． （6 分*2=12 分）
3
3 3 1
（1）求 lim n ( 2 2 )
n n i 1 (n i )
f (cos x 1) 1
（2 ）设 f (x) 在 x 0处可导，且 f (0) 1 , f (0) 2 ,求 lim 2
x 0
x
三．在下面两题中，分别指出满足条件的函数是否存在？若存在，举一例，若不存在，请
给出证明。 （4 分 +6 分 =10 分）
（1 ）函数 f (x) 在 ( , ) 上有定义（ 0 ），当 x 0 时， f (x) 严格增加，当
0 x 时， f (x ) 严格减少， lim f (x)存在，且 f (0) 是 f (x) 的极小值。
x 0
（2 ）函数 f (x) 在 ( , ) 上一阶可导 （ 0 ），f (0) 为极值，且 (0 , f (0)) 为曲线 y f (x)
的拐点。
四．（10 分）
求一个次数最低的多项式 p(x) ，使得它在 x 1时取得极大值 13 ，在 x 4 时取得极小值
－14 。
五． （12 分）
x
过点 (0,0) 作曲线 : y e 的切线 L ，设 D 是以曲线 、切线 L 及 x 轴为边界的无界区域。
（1）求切线 L 的方程。
（2 ）求区域 D 的面积。
（3 ）求区域 D 绕 x 轴旋转一周所
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