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相似三角形中几种常见的辅助线作法(有辅助线) 相似三角形中几种常见的辅助线作法(有辅助线) PAGE PAGE 相似三角形中几种常见的辅助线作法(有辅助线) 相似三角形中几种常见的辅助线作法 在添加辅助线时，所添加的辅助线往往能够构造出一组或多组相似三角形，或得到成比例的线段或出等角，等边，从而为证明三角形相似或进行相关的计算找到等量关系。主要的辅助线有以下几种： 一、添加平行线构造“A”“X”型 例1：如图，D是△ABC的BC边上的点，BD：DC=2：1，E是AD的中点，求：BE：EF的值. 解法一：过点D作CA的平行线交BF于点P，则 ∴PE=EF BP=2PF=4EF 所以BE=5EF ∴BE：EF=5：1. 解法二：过点D作BF的平行线交AC于点Q， ∴BE：EF=5：1. 解法三：过点E作BC的平行线交AC于点S， 解法四：过点E作AC的平行线交BC于点T， ∵BD=2DC ∴ ∴BE：EF=5：1. 变式：如图，D是△ABC的BC边上的点，BD：DC=2：1，E是AD的中点, 连结BE并延长交AC于F, 求AF：CF的值. 解法一：过点D作CA的平行线交BF于点P， 解法二：过点D作BF的平行线交AC于点Q， 解法三：过点E作BC的平行线交AC于点S， 解法四：过点E作AC的平行线交BC于点T， 例2：如图，在△ABC的AB边和AC边上各取一点D和E，且使AD＝AE， DE延长线与BC延长线相交于F，求证： （证明：过点C作CG 分析：证明等积式问题常常化为比例式，再通过相似三角形对应边成比例来证明。不相似，因而要通过两组三角形相似，运用中间比代换得到，为构造相似三角形，需添加平行线。. 方法一：过E作EM方法二：过D作DN 例4：在△ABC中，D为AC上的一点，E为CB延长线上的一点，BE=AD，DE交AB于F。求证：EF×BC=AC×DF 证明：过D作DG∥BC交AB于G，则△DFG和△EFB相似， ∴ ∵BE＝AD,∴ 由DG∥BC可得△ADG和△ACB相似，∴ 即 ∴EF×BC＝AC×DF. 例5：已知点D是BC的中点，过D点的直线交AC于E,交BA的延长线于F, 求证： 分析：利用比例式够造平行线，通过中间比得结论 . （或利用中点”倍长中线”的思想平移线段EC,使得所得四条线段分别构成两个三角形.） 例6：已知：在等腰三角形ABC中，AB=AC，BD是高，求证：BC2=2AC·CD 分析：本题的 重点在于如何解决“2”倍的 问题；让它归属一条线段，找到这一线段2倍是哪一线段. 例7: 如图，△ABC中，AD是BC边上中线，E是AC上一点，连接ED且交AB的延长线于F点.求证：AE：EC=AF：BF. 分析：利用前两题的 思想方法，借助中点构造中位线，利用平行与2倍关系的 结论，证明所得结论. 找到后以比例式所在三角形与哪个三角形相似. 例8：在?ABC中，AB=AC,AD是中线，P是AD上一点，过C作CF∥AB,延长BP交AC于E，交CF于F,求证：BP2=PE·PF 分析：在同一直线上的三条线段成比例，可以通过中间比转化，也可以通过线段相等，把共线的线段转化为两个三角形中的线段，通过相似证明.另外在证明等积式时要先转化为比例式观察相似关系，有利于证明. 二、作垂线构造相似直角三角形 例9：如图从 ABCD顶点C向AB和AD的延长线引垂线CE和CF，垂足分别为E、F， 求证： 证明：过B作BM⊥AC于M，过D作DN⊥AC于N ∴ AM：AE=AB：AC （1） （1）+（2）得 例10：?ABC中，AC=BC，P是AB上一点，Q是PC上一点 （不是中点），MN过Q且MN⊥CP，交AC、BC于M、N，求证： 证明：过P作PE⊥AC于E，PF⊥CB于F，则CEPF为矩形 ∴ PF EC ∵ ∠A＝∠B=45° ∴RtΔAEP=RtΔPFB ∴ ∵ EC=PF ∴ （1） 在ΔECP和ΔCNM中CP⊥MN于Q ∴ ∠QCN+∠QNC=90°又 ∵ ∠QCN+∠QCM=90° ∴∠MCQ=∠CNQ ∴RtΔPEC∽RtΔMCN ∴ 即 （2） 由（1）（2）得 三、作延长线构造相似三角形 例11. 如图，在梯形ABCD