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初中数学竞赛常用解题方法(代数)
一、 配方法
例 1、化简 x 1 2 x 2 x 1 2 x 2 .
练习:若 ( x z )2 4( x y )( y z) 0 ,试求 x+z 与 y 的关系。
二、 非负数法
1
例 2、在实数范围内解方程 x y 1 z 2 ( x y z ) .
2
三、 构造法
(1)构造多项式
例 3、三个整数 a 、b、c 的和是 6 的倍数 .,那么它们的立方和被 6 除,得到的余数是 ( )
(A) 0 (B) 2 (C) 3 (D) 不确定的
(2 )构造有理化因式
例 4、 已知 ( x x 2 2002 )( y y 2 2002 ) 2002 .
则 x 2 3 xy 4 y 2 6 x 6 y 58 ___ ___ 。
(3 )构造对偶式
例 5、 已知 、 是方程 x 2 x 1 0 的两根,则 4 3 的值是 ___ ___ 。
(4 )构造递推式
例 6、 实数 a、b、x 、y 满足 ax by 3 , ax 2 by 2 7 , ax 3 by 3 16 , ax 4 by 4 42 .
求 ax 5 by 5 的值 ___ ___ 。
(5 )构造几何图形
例 7、(构造对称图形)已知 a、b 是正数,且 a + b = 2. 求 u a 2 1 b2 4 的最小值
___ ___ 。
练习: (构造矩形)若 a,b 均为正数,且 a 2 b2 , 4a 2 b2 , a2 4b 2 是一个三角
形的三条边的长,那么这个三角形的面积等于 ___________ 。
四、 合成法
例 8、若 x1 , x 2 , x 3 , x4 和 x5 满足方程组
2x x x x x 0
1 2 3 4 5
x 2x x x x 12
1 2 3 4 5
x1 x2 2 x3 x 4 x5 24 确定 3 x4 2 x5 的值。
x x x 2 x x 48
1 2 3 4 5
x x x x 2 x 96
1 2 3 4 5
五、 比较法 (差值比较法、比值比较法、恒等比较法)
例 9、 71427 和 19 的积被 7 除,余数是几?
2 a 2 b 2 c b c c a a b
练习:设 a b c 0 ,求证: a b c a b c .
六、 因式分解法 (提取公因式法、公式法、十字相乘法)
n n n 1 n 2 n 2 n 1
a b ( a b)( a a b ... ab b )
n n n 1 n 2 n 2 n 1
a b ( a b)( a a b ... ab b )
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