空间向量与立体几何典型例题.doc

空间向量与立体几何典型例题 空间向量与立体几何典型例题 PAGE 空间向量与立体几何典型例题 空间向量与立体几何典型例题 一、选择题： 1．(2008全国Ⅰ卷理)已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等，在底面内的射影为的中心，则与底面所成角的正弦值等于（ C ） A． B． C． D． 1.解：C．由题意知三棱锥为正四面体，设棱长为，则，棱柱的高（即点到底面的距离），故与底面所成角的正弦值为. 另解：设为空间向量的一组基底，的两两间的夹角为 长度均为，平面的法向量为, 则与底面所成角的正弦值为. 二、填空题： 1．(2008全国Ⅰ卷理)等边三角形与正方形有一公共边，二面角的余弦值为，分别是的中点，则所成角的余弦值等于 ． 1题图（1）1.答案：.设，作 1题图（1） ，则，为二面角的平面角 ，结合等边三角形 与正方形可知此四棱锥为正四棱锥，则 , 1题图（2） 1题图（2） 故所成角的余弦值 另解：以为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系， 则点, , 则, 故所成角的余弦值. 三、解答题： 1．（2008安徽文）如图，在四棱锥中，底面四边长为1的 菱形，, , ,为的中点。 （Ⅰ）求异面直线AB与MD所成角的大小； （Ⅱ）求点B到平面OCD的距离。 1．方法一（综合法） （1） 为异面直线与所成的角（或其补角） 作连接 ， 所以 与所成角的大小为 （２）点A和点B到平面OCD的距离相等， 连接OP,过点A作 于点Q， 又 , 线段AQ的长就是点A到平面OCD的距离 ， ，所以点B到平面OCD的距离为 方法二(向量法)作于点P,如图,分别以AB,AP,AO所在直线为轴建立坐标系 , (1)设与所成的角为, , 与所成角的大小为 (2) 设平面OCD的法向量为,则 即 取,解得 设点B到平面OCD的距离为,则为在向量上的投影的绝对值, , . 所以点B到平面OCD的距离为 2．（2008安徽理）如图，在四棱锥中，底面四边长为1的菱形，, , ,为的中点，为的中点。 （Ⅰ）证明：直线； （Ⅱ）求异面直线AB与MD所成角的大小； （Ⅲ）求点B到平面OCD的距离。 2． 方法一（综合法） （1）取OB中点E，连接ME，NE 又 （2） 为异面直线与所成的角（或其补角） 作连接 ， 所以 与所成角的大小为 （3）点A和点B到平面OCD的距离相等，连接OP,过点A作 于点Q， 又 ,线段AQ的长就是点A到平面OCD的距离 ， ，所以点B到平面OCD的距离为 方法二(向量法) 作于点P,如图,分别以AB,AP,AO所在直线为轴建立坐标系 , (1) 设平面OCD的法向量为,则 即 取,解得 (2)设与所成的角为, , 与所成角的大小为 (3)设点B到平面OCD的交流为,则为在向量上的投影的绝对值, 由 , 得.所以点B到平面OCD的距离为 3．（2008北京文）如图，在三棱锥P-ABC中，AC=BC=2，∠ACB=90°，AP=BP=AB，PC⊥AC. （Ⅰ）求证：PC⊥AB； （Ⅱ）求二面角B-AP-C的大小. 3．解法一：（Ⅰ）取AB中点D，连结PD，CD. ∵AP=BP， ∴PD⊥AB. ∵AC=BC. ∴CD⊥AB. ∵PD∩CD＝D. ∴AB⊥平面PCD. ∵PC平面PCD， ∴PC⊥AB. （Ⅱ）∵AC=BC,AP=BP, ∴△APC≌△BPC. 又PC⊥AC， ∴PC⊥BC. 又∠ACB＝90°，即AC⊥BC， 且AC∩PC=C， ∴AB＝BP， ∴BE⊥AP. ∵EC是BE在平面PAC内的射影， ∴CE⊥AP. ∴∠BEC是二面角B-AP-C的平面角. 在△BCE中，∠BCE=90°,BC=2,BE=， ∴sin∠BEC= ∴二面角B-AP-C的大小为aresin 解法二： （Ⅰ）∵AC=BC,AP=BP, ∴△APC≌△BPC. 又PC⊥AC. ∴PC⊥BC. ∵AC∩BC=C, ∴PC⊥平面ABC. ∵AB平面ABC， ∴PC⊥AB. (Ⅱ)如图，以C为原点建立空间直角坐标系C-xyz. 则C（0，0，0），A（0，2，0），B（2，0，0）. 设P（0，0，t）, ∵｜PB｜=｜AB｜＝2， ∴t=2,P(0,0,2). 取AP中点E，连结BE，CE. ∵｜AC｜=｜PC｜,｜AB｜=｜BP｜, ∴CE⊥AP,BE⊥AP. ∴∠BEC是二面角B-AP-C的平面角. ∵E(0,1,1), ∴cos∠BEC= ∴二面角B-AP-C的大小为arccos ACBDP4．（2008北京理）如图，在三棱锥中，，，，． A C B D P （Ⅰ）求证：； （Ⅱ）求二面角的大小；