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用不动点法求数列通项 用不动点法求数列通项 PAGE 用不动点法求数列通项 用不动点法求数列的通项 定义：方程的根称为函数的不动点. 利用递推数列的不动点，可将某些递推关系所确定的数列化为等比数列或较易求通项的数列，这种方法称为不动点法. 定理1：若是的不动点，满足递推关系，则，即是公比为的等比数列. 证明：因为 是的不动点 由得 所以是公比为的等比数列. 定理2：设，满足递推关系，初值条件 （1）：若有两个相异的不动点，则 （这里） （2）：若只有唯一不动点，则 （这里） 证明：由得，所以 （1）因为是不动点，所以，所以 令，则 （2）因为是方程的唯一解，所以 所以，所以 所以 令，则 例1：设满足，求数列的通项公式 例2：数列满足下列关系：，求数列的通项公式 定理3：设函数有两个不同的不动点,且由确定着数列,那么当且仅当时, 证明: 是的两个不动点 即 于是, 方程组有唯一解 例3：已知数列中,,求数列的通项. 其实不动点法除了解决上面所考虑的求数列通项的几种情形,还可以解决如下问题: 例4：已知且,求数列的通项. 解: 作函数为,解方程得的不动点为 .取,作如下代换: 逐次迭代后,得: 已知曲线．从点向曲线引斜率为的切线，切点为． （１）求数列的通项公式； （２）证明： 设为实数，是方程的两个实根，数列满足，，（…）．（1）证明：，；（2）求数列的通项公式；（3）若，，求的前项和． 已知函数，是方程的两个根（），是的导数，设，． （1）求的值； （2）证明：对任意的正整数，都有； （3）记，求数列的前项和 13陕西文21．（本小题满分12分）已知数列满足， . 令，证明：是等比数列； (Ⅱ)求的通项公式。 山东文20.（本小题满分12分）等比数列{}的前n项和为， 已知对任意的 ，点，均在函数且均为常数)的图像上.（1）求r的值；（11）当b=2时，记 求数列的前项和