用导数求切线方程的四种类型.doc

用导数求切线方程的四种类型 用导数求切线方程的四种类型 PAGE PAGE第 PAGE 68 页 共 NUMPAGES 68 页 用导数求切线方程的四种类型 用导数求切线方程的四种类型 浙江　　　曾安雄 求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出切点及斜率，其求法为：设是曲线上的一点，则以的切点的切线方程为：．若曲线在点的切线平行于轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为． 下面例析四种常见的类型及解法． 类型一：已知切点，求曲线的切线方程 此类题较为简单，只须求出曲线的导数，并代入点斜式方程即可． 例1　曲线在点处的切线方程为（　　） Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 解：由则在点处斜率，故所求的切线方程为，即，因而选Ｂ． 类型二：已知斜率，求曲线的切线方程 此类题可利用斜率求出切点，再用点斜式方程加以解决． 例2　与直线的平行的抛物线的切线方程是（　　） Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 解：设为切点，则切点的斜率为． ． 由此得到切点．故切线方程为，即，故选Ｄ． 评注：此题所给的曲线是抛物线，故也可利用法加以解决，即设切线方程为，代入，得，又因为，得，故选Ｄ． 类型三：已知过曲线上一点，求切线方程 过曲线上一点的切线，该点未必是切点，故应先设切点，再求切点，即用待定切点法． 例3 求过曲线上的点的切线方程． 解：设想为切点，则切线的斜率为． 切线方程为． ． 又知切线过点，把它代入上述方程，得． 解得，或． 故所求切线方程为，或，即，或． 评注：可以发现直线并不以为切点，实际上是经过了点且以为切点的直线．这说明过曲线上一点的切线，该点未必是切点，解决此类问题可用待定切点法． 类型四：已知过曲线外一点，求切线方程 此类题可先设切点，再求切点，即用待定切点法来求解． 例4　求过点且与曲线相切的直线方程． 解：设为切点，则切线的斜率为． 切线方程为，即． 又已知切线过点，把它代入上述方程，得． 解得，即． 评注：点实际上是曲线外的一点，但在解答过程中却无需判断它的确切位置，充分反映出待定切点法的高效性． 例5　已知函数，过点作曲线的切线，求此切线方程． 解：曲线方程为，点不在曲线上． 设切点为， 则点的坐标满足． 因， 故切线的方程为． 点在切线上，则有． 化简得，解得． 所以，切点为，切线方程为． 评注：此类题的解题思路是，先判断点A是否在曲线上，若点A在曲线上，化为类型一或类型三；若点A不在曲线上，应先设出切点并求出切点． 2、求圆锥曲线的切线 在初中数学中，曲线的切线没有一般的定义。例如，圆的切线定义为与圆只有一个交点的直线，但把这一定义用到其他曲线上就不行了。如直线与抛物线只有一个交点，是的切线，但与抛物线也只有一个交点，但却不是的切线，由此可见，用“一个交点”来定义切线并不能用于所有曲线。而学了微积分的知识后，就可以给出曲线切线的一般定义了。 切线的定义：设是曲线上一定点，是该曲线上的一动点，从而有割线，令沿着曲线无限趋近于，则割线的极限位置就是曲线在的切线（如果极限存在的话）。 这一定义与初等数学中圆的切线定义是一致的（用于讨论圆的切线时），用这一定义也容易证明是的切线，而不是的切线，这一切线定义可用于任何曲线。 导数的几何意义就是曲线在点的切线斜率。故运用上述切线的一般定义和结论，可以处理与切线有关的许多问题。 例6 求曲线在时的切线方程。 解： 当时， 又当时， 当时，所求的切线方程为： 即 反思：由此可见，用微积分法解此类问题是多么的简单容易，可是在初等数学中，曲线的切线定义都难得给出，更别说讨论与的切线有关的问题了。 例7 已知函数在处取得极值，过点作曲线的切线，求此切线方程。 解：由例4，曲线方程为，点不在曲线上。 设切点为则点的坐标满足， 由于，故切线的方程为.注意到点在切线上,有化简得,解得.因此,切点为,切线方程为. 要点：1.导数是如何定义2.如何求曲线在点 处的切线方程与法线方程。 第三章 导数与微分 § 导数的概念 由于机器制造，远洋航海，天象观测等大量实际问题给数学家提出了许多课题。其中求曲边梯形面积的研究导致了积分学的产生，而求变速运动的瞬时速度，求曲线上一点的切线，求函数的极大值和极小值等问题的研究导致了微分学的产生。 历史上，Newton从瞬时速度出发，Leibniz从曲线的切线出发，分别给出导数的概念，并明确给出计算导数的步骤，而且建立了有关积分与微分是互为逆运算的完整理论。 一. 导数的概念 平均变化率 设在点处自变量改变，函数相应地改变, 则平均变化率是 . 图 不难看出，平均变化率的几何解释是连续曲线上两点的割线的斜率(如何) 2. 瞬时变化率 当物体做变速直线运动时，它的速度随时间而确定，