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相似三角形中添加辅助线问题 相似三角形中添加辅助线问题 PAGE PAGEPAGE 4 相似三角形中添加辅助线问题 相似三角形中添加辅助线问题培优（张老师） （一）遇燕尾，作平行，构造 字一般行。 1、BE＝AD，求证：EF·BC＝AC·DF （二）遇梯形，延长腰，构成A字瞧一瞧。 1题图 2、梯形ABCD中，AD∥BC，CH平分∠BCD，BH＝3AH，四边形AHCD的面积为21，求△HBC的面积。 2题图 （三）遇平分，作等腰，三线合一要记牢。 3、AC⊥BC，AE⊥DE，2∠ADE＝∠B，AC：BC＝3：1，求AE：DG 3题图 （四）直角多，垂线作，再难题目你能做。 4、平行四边形ABCD中，CE⊥AE，CF⊥AF，求证：AB·AE＋AD·AF＝AC2 4题图 四、巩固练习：（做题目，看情况，灵活运用最恰当。） 1、BD：DC＝2：1，E为AD中点，求①BE：EF ②AF：FC 1题图 2题图 2、平行四边形ABCD中，E为AB中点，AF：FD＝1：2，求AG：GC 3、D为BC中点，求证：AF：BF＝AE：EC 3题图 4、AC⊥BC，CD⊥AB，FG⊥AB，E为CD中点，求证：FG2＝CF·BF 4题图 5题图 5、AB＝AC，AD为中线，CF∥AB，求证：BP2＝PE·PF 6、AD平分∠BAC，EF垂直平分AD，求证：ED2＝EB·EC 6题图 7、矩形ABCD中，E为AD中点，EF⊥EC，求证：△AEF∽△ECF 7题图 8题图 8、AB＝AC，AB⊥BC，AD为中线，BE⊥AD，求证：①AE＝2EC ②∠AEB＝∠CED 9、∠BAC＝90°，AE⊥BC，BD＝DC＝EC＝1，求AC的长 9题图 10、在直角梯形OABC中，CB∥OA，∠COA＝90o，CB＝3，OA＝6，BA＝3 eq \r(5)．分别以OA、OC边所在直线为x轴、y轴建立如图1所示的平面直角坐标系． （1）求点B的坐标； （2）已知D、E分别为线段OC、OB上的点，OD＝5，OE＝2EB，直线DE交x轴于点F．求直线DE的解析式； （3）点M是（2）中直线DE上的一个动点，在x轴上方的平面内是否存在另一个点N．使以O、D、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． A A B D E （第10题 图1） F C O M N x y 图15-2ADOBC21M 图15-2 A D O B C 2 1 M N 图15-1 A D B M N 1 2 图15-3 A D O B C 2 1 M N O 于点O，∠1?=?∠2?=?45°． （1）如图15-1，若AO?=?OB，请写出AO与BD 的数量关系和位置关系； （2）将图15-1中的MN绕点O顺时针旋转得到 图15-2，其中AO?=?OB． 求证：AC?=?BD，AC?⊥?BD； （3）将图15-2中的OB拉长为AO的k倍得到 图15-3，求的值． 12．如图，已知过A（2，4）分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为M、N，若点P从O点出发，沿OM作匀速运动，1分钟可到达M点，点Q从M点出发，沿MA作匀速运动，1分钟可到达A点。 （1）经过多少时间，线段PQ的长度为2？ （2）写出线段PQ长度的平方y与时间t之间的函数关系式和t的取值范围； （3）在P、Q运动过程中，是否可能出现PQ⊥MN？若有可能，求出此时间t；若不可能，请说明理由； （4）是否存在时间t，使P、Q、M构成的三角形与△MON相似？若存在，求出此时间t；若不可能，请说明理由； Y N A