中国古代数学几何问题拾趣.docVIP

中国古代数学几何问题拾趣 中国古代数学几何问题拾趣 PAGE / NUMPAGES 中国古代数学几何问题拾趣 中国古代数学几何问题拾趣 序言 中国古代数学著作中有很多有研究价值的几何问题， 如：“存在正方形” 、“勾股测量” 、“割圆术”、 “出入相补原理”等等 . 由此可以看出，我国在几何学的发展并不落后于西方，在某些方面我国甚至 领先于西方 . 某些问题已经引起国内外几何学家的关注， 这些问题对世界数学的发展起了巨大的推动 作用，开辟了几何学的许多新领域， 最具代表性的要属我国古代的测量几何学 . 虽然今天的科学技术 已经非常先进 , 但研究这些问题仍然十分重要 . 目前我国很多数学家在从事中国古代测量几何学的研 究，他们整理了大量有趣的古代测量问题，并对这些问题做了系统分析，取得了许多新的理论成果， 为测量几何学的发展做出了新贡献 . 背景介绍 2.1 理论背景 近年来，国内外数学史学家在整理我国古代数学方面的历史资料时，发现了我国古代在几何学 方面的许多辉煌成果， 这些辉煌成果令数学史学家很吃惊 . 特别是我国古代数学家对测量几何学的研 究，可谓是独具特色 . 他们通过整理、研究、分析、总结这些成果，给世人呈现了中国古代数学在几 何学方面的成就 , 也使世人不得不承认中国古代几何问题的研究为世界几何学发展做出了巨大的贡 献 . 中国古代这些典型的几何问题非常适合作为现代教学材料，现代中学教材中有很多题目都是由 这些著作中的题目改编而来的 . 这是因为这些题目对开发当代学生的智力非常实用， 研究它们既能培 养学生良好的思维习惯，又能提高分析问题、解决问题的能力，这种观点在国际上已经得到认可 . 2.2 历史背景 测量问题历史悠久，我国古代数学名著《九章算术》中已经有很多相关问题的记载，这些问题 都来自于社会生产实践， 比如：种田、挖井、开山等 . 魏晋时期数学家刘徽发展了测量学， 他在为《九章算术》作注时不仅总结了其中有关测量学方面的优秀成果，还专门写了论述测量问题的《重差》 一卷，附在《九章算术》 之末，后来《重差》一卷改为单行本， 就是有名的数学著作 《海岛算经》 1 P68 90 . 在本书中共列有九个测量的问题，其中有二次测望，三次测望，四次测望的问题 2 P479 498 . 所选测量问题的总体介绍 我国古代有许多伟大的建筑工程，如万里长城、大运河等这些巨大的工程在施工时都要用到各 种测量计算方法 . 我国古代数学名著《周髀算经》中记载了公元前 1000 年左右，西周开国时期，周 公和商高讨论用矩测量的问题，另外此书中还详细记载了测量太阳高度的问题，并且给出了太阳高 度公式 3 P484 493 . 由此可见， 测量学在我国有着悠久的发展历史， 研究的内容也非常丰富 , 很多问题 的提出方式和解决方法到现在仍然有不可估量的研究价值 , 这些问题的解决过程不仅为实际应用提 供了算法和公式， 而且具有独特的发现问题视角和严谨的逻辑论证思想 , 从一定程度说是这些为我国 古代测量学奠定了基础 . 最具代表性的是我国古代数学名著《九章算术》 （成书大约在公元 50 年到 100 年之间）和《海岛算经》 1 P68 90 . 前者记载了各种各样的测量问题，其勾股章中的测量问题更 具有独特的创新性和极富想象力的解决方法 . 比如 : 测树高问题、测井深问题、测山与人之间的距离 问题等 . 后者记载了九个巧用勾股比例进行地面测量的几何问题， 并且通过相似三角形结合勾股比例 创造了“重差术” ，解决了所提出的问题 . 《九章算术》中的测量问题 《九章算术》中有很多测量问题，古代数学家在解决这类问题时已经在不少地方用到了相似形 的知识 . “勾股章”应用最多，从第十七题到二十四题都是测量问题，其中包括测树高问题、测井 深问题、测山与人之间的距离问题 . 这些问题的解法都要利用相似直角三角形对应边成比例的原理， 古代数学家称这种方法为“旁要术” . 4.1 《九章算术》勾股章中的测量问题举例 测井深 《九章算术》勾股章中的第二十四题原文 4 P340 342 ：今有井径五尺，不知其深，立五尺木于 井上，从木末望水岸，入径四寸，问井深几何？ 答曰 五丈七尺五寸 . 原文解法 置井径五尺，以入径四寸减之，余，以乘立木五尺为实 . 以入径四寸为法 . 实如法得 一寸 . 今译 如图 1 所示，已知有一口井，井口直径为 5 尺，立一根 5尺的木杆 AB 于井边上，从木杆 顶 A 正好可望见井内水面边缘， 视线 AF 与井口 BE 交于 D ，DB 4寸 . 问井口至水面的深度是多 少？这个问题现在一看图便很容易解决. 解AB 5尺 50寸 , EB 5尺 50寸 , DB 4寸, ED EB DB