高考复习中抛物线(几个常见结论及其应用).docxVIP

. .实用文档 . 抛物线的几个常见结论 抛物线中有一些常见、常用的结论，了解这些结论后在做选择题、填空题时可迅速解答相关问题，在做解答题时也可迅速翻开思路。 p2 结论一：假设 AB是抛物线 y2 2px(p 0)的焦点弦〔过焦点的弦〕 ，且 A(x, y )， B(x , y)，那么： xx ， 2 y1 y2 p 。 1 1 2 2 1 2 4 证明：因为焦点坐标为 F( p ,0), 当 AB不垂直于 x 轴时，可设直线 AB 的方程为： 2 y k (x p ) ， 2 p y 2 y 2 p4 p2 由 y k ( x ) 得: ky2 2 py kp2 0 ∴ y y p2 ， x x 1 2 。 2 y 2 2 px 1 2 1 2 p 2 p 2 p 2 4 p2 4 p 2 当 AB⊥ x 轴时，直线 AB 方程为 x ，那么 y1 2 p ，y2 p ，∴ y1 y2 p ，同上也有： x1x2 。 4 例：直线 AB 是过抛物线 y2 2 px( p 0) 焦点 F，求证： 1 1 AF BF 为定值。 结论二：〔 1〕假设 AB是抛物线 y2 2px(p 0)的焦点弦， 且直线 AB 的倾斜角为α， 那么 AB 2 P 〔α 2sin 2 ≠ 0〕。〔2〕焦点弦中通径〔过焦点且垂直于抛物线对称轴的弦〕最短。 证明：〔1〕设 A( x , y ) ， B( x , y )，设直线 AB: y k( x p ) 由 y k ( x 2 1 1 p ) 得:, 2  ky2 2 2 2 py kp2 0  ∴ y1 y2 2 1 22 p ， y y p2 1 2 k y 2 px 1 1  2 2p(1  k2) 2p(1 tan2  ) 2P ∴ AB 1 y y 1 (y y )2 2 2 4y y 1 1 2p 1 k 。 k 1 2 k2 1 2 1 2 k2 k k2 tan2 sin2 易验证，结论对斜率不存在时也成立。 〔2〕由〔 1〕： AB为通径时， 90 ， sin 2  的值最大， AB 最小。 2例：过抛物线 2 y 9x 的焦点的弦 AB长为 12，那么直线 AB倾斜角为 。 结论三：两个相切： 〔 1〕以抛物线焦点弦为直径的圆与准线相切。 〔2〕过抛物线焦点弦的两端点向准线作垂线，以两垂足为直径端点的圆与焦点弦相切。 AB 是抛物线 y2 2 px( p 0) 的过焦点 F 的弦，求证： 〔1〕以 AB 为直径的圆与抛物线的准线相切。 (2)分别过 A 、B 做准线的垂线，垂足为 M 、N ，求证：以 MN 为直径的圆与直线 AB 相切。 证明： (1) 设 AB的中点为 Q,过 A 、Q、B 向准线 l 作垂线， 垂足分别为 M 、P、N ，连结 AP、BP。 由抛物线定义： AM AF ， BN BF ， y A M P O Q x ∴ QP 1 ( AM BN ) 1 ( AF BF ) 1 AB ， F 2 2 2 N B . . . ∴以 AB为直径为圆与准线 l 相切 〔2〕作图如〔 1〕，取 MN中点 P，连结 PF、MF 、NF， y ∵ AM AF ， AM ∥OF，∴∠ AMF= ∠AFM ，∠ AMF= ∠ MFO ， M A ∴∠ AFM= ∠ MFO 。同理，∠ BFN= ∠ NFO ， 1 ∴∠ MFN= 2  〔∠ AFM+ ∠ MFO+ ∠ BFN+ ∠ NFO 〕=90°， P O F x ∴ MP NP FP 1 MN ， N B 2 ∴∠ PFM= ∠ FMP ∴∠ AFP= ∠ AFM+ ∠ PFM= ∠ FMA+ ∠ FMP= ∠ PMA=9 0°，∴ FP⊥AB ∴以 MN 为直径为圆与焦点弦 AB相切。 结论四：假设抛物线方程为 y2 2px(p 0)，过〔 2 p ，0〕的直线与之交于 A、B 两点，那么 OA⊥ OB。反之也 成立。 证明：设直线 AB方程为 :  y k(x  y k (x 22 p) ，由 2  2 p)  得， △ 0， x1 x2  k ， x1x2 b 2y 2 px 2 ∵ AO⊥BO，∴ AO ⊥ BO ∴ x1x2 y1 y2 x1x2 (kx1 b)(kx2 b) (1 k 2 )x x kb(x1 x2 ) b 0 1 2将 x1 x2 1 2 k ， x1x2 b 代入得， b 1 。∴直线 AB恒过定点〔 0， 1〕。 S 1 x x 1 1 (x x ) 2 4x x 1 k 2 4 1 AOB 1 2 1 2 1 2 2 2 2 ∴当且仅当