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DVD在线租赁问题研究 摘要 本文解决的是 DVD在线租赁网站在 DVD的需求预测、购买和分配中的重要问题。首先 我们通过随机概率模型分析了要满足会员要求的 DVD的最少采购量，其中主要利用了 0-1 分布和二项分布的理论， 即认为会员是否一个月租赁两次是一个随机事件， 服从 0-1 分布， 因此分配到自己想要 DVD的会员中租赁两次的人数就服从二项分布， 具体计算时 ( 由于是大 样本场合 ) 用标准正态分布逼近二项分布得到最后的结果。 在解决最大满意度原则下的 DVD分配时，我们建立的是以最大期望满意度为目标，含 有随机变量的规划模型。出于计算规模和效率方面的考虑，文中采用类似贪婪算法的处理 方法，将 DVD的分配分成两个阶段来处理，这两个阶段分别的最优解之和作为最终要得到 的最优目标。 最后我们基于现实基础提出了以最大满意度和最小邮费为目标的规划方程，并对上述 几个模型进行了评价和推广价值讨论。 关键字 最优解 0-1 规划 满意度 分配方案 一、问题重述 （一）提出背景 随着信息时代的到来，网络成为人们生活中越来越不可或缺的元素之一。许多网站利 用其强大的资源和知名度，面向其会员群提供日益专业化和便捷化的服务。例如，音像制 品的在线租赁就是一种可行的服务。在线 DVD租赁就是这样一种传播范围广泛、直达核心 消费群、强烈的互动性、感官性强、成本相对低廉的服务。 （二）提出问题 客户缴纳一定数量的月费成为会员，通过在线提交订单，订购 DVD租赁服务，会员提 交的订单包括多张 DVD，这些 DVD是基于其偏爱程度排序的。网站会根据手头现有的 DVD 数量和会员的订单进行分发。 每个会员每个月租赁次数不得超过 2 次，每次获得 3 张 DVD。 在已知会员订单情况下，如何购买、分配这些 DVD，使会员满意度最大且成本最低就成了 自然而然的问题。 另外，在 DVD的需求预测、购买和分配中还存在很多其他问题值得研究。 （三）重述问题 考虑如下 DVD租赁问题：顾客缴纳一定数量的月费成为会员，订购 DVD租赁服务。会 员对哪些 DVD有兴趣，只要在线提交订单，网站就会通过快递的方式尽可能满足要求。会 员提交的订单包括多张 DVD，这些 DVD是基于其偏爱程度排序的。网站会根据手头现有的 DVD数量和会员的订单进行分发。 其中网站有如下几个约定：①每个会员每个月租赁次数不得超过 2 次。②每次获得 3 张 DVD。③会员看完 3 张 DVD之后，只需要将 DVD放进网站提供的信封里寄回（邮费由网 站承担），就可以继续下次租赁。 现在需要解决以下几个问题： 1. 若网站准备购买一些新的 DVD，通过问卷调查 1000 个会员，得到了愿意观看这些 DVD的人数（表 1 给出了其中 5 种 DVD的数据）。另外根据经验有， 60%的会员每月租赁 DVD 两次，而另外的 40%只租一次。网站现有 10 万个会员，用表 1 中的数据进行推广，计算出 应该至少准备多少张，才能保证希望看到该 DVD的会员中至少 50%在一个月内能够看到该 DVD如果要保证在三个月内至少 95%的会员能够看到该 DVD该如何准备 2. 表 2 中列出了网站手上 100 种 DVD的现有张数和当前需要处理的 1000 位会员的在 线订单，分配这些 DVD，使会员获得最大的满意度。 并具体列出前 30 位会员 （即C0001