九年级相似三角形知识点总结及例题讲解.pdf

相似三角形基本知识 知识点一：放缩与相似 1.图形的放大或缩小，称为图形的放缩运动。 2.把形状相同的两个图形说成是相似的图形，或者就说是相似性。 注意：⑴相似图形强调图形形状相同，与它们的位置、颜色、大小无关。 ⑵相似图形不仅仅指平面图形，也包括立体图形相似的情况。 ⑶我们可以这样理解相似形：两个图形相似，其中一个图形可以看作是由另一个图形放大或缩小 得到的． ⑷若两个图形形状与大小都相同，这时是相似图形的一种特例——全等形． 3.相似多边形的性质：如果两个多边形是相似形，那么这两个多边形的对应角相等，对应边的长度成比例。 注意：当两个相似的多边形是全等形时，他们的对应边的长度的比值是1. 知识点二：比例线段有关概念及性质 （1）有关概念 1、比：选用同一长度单位量得两条线段。a、b 的长度分别是m、n，那么就说这两条线段的比是a：b＝m： n （或） 2、比的前项，比的后项：两条线段的比a：b 中。a叫做比的前项，b 叫做比的后项。 说明：求两条线段的比时，对这两条线段要用同一单位长度。 3、比例：两个比相等的式子叫做比例，如 4、比例外项：在比例（或a：b＝c：d）中a、d叫做比例外项。 5、比例内项：在比例（或a：b＝c：d）中b、c叫做比例内项。 6、第四比例项：在比例（或a：b＝c：d）中，d 叫a、b、c 的第四比例项。 7、比例中项：如果比例中两个比例内项相等，即比例为（或a:b＝b:c时，我们把b 叫做a和d的比例中项。 8.比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度 的比相等，即（或a：b=c：d），那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。（注意： 在求线段比时，线段单位要统一，单位不统一应先化成同一单位） （2）比例性质 1.基本性质: （两外项的积等于两内项积） 2.反比性质： (把比的前项、后项交换) 3.更比性质(交换比例的内项或外项)： 4.合比性质：（分子加（减）分母,分母不变） ． 注意：实际上，比例的合比性质可扩展为：比例式中等号左右两个比的前项，后项之间 发生同样和差变化比例仍成立．如：． 5.等比性质：（分子分母分别相加，比值不变.） 如果，那么． 注意：(1)此性质的证明运用 “设法” ，这种方法是有关比例计算，变形中一种常用方法． (2)应用等比性质时，要考虑到分母是否为零． (3)可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也成 立． 知识点三：黄金分割 1）定义：在线段AB上，点C把线段AB分成两条线段AC和BC （AC＞BC），如果，即AC2=AB×BC， 那么称线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB 的黄金分割点，AC与AB 的比叫做黄金比。 其中≈0.618。 2）黄金分割的几何作图：已知：线段AB.求作：点C使C是线段AB 的黄金分割点. 作法：①过点B作BD⊥AB，使； ②连结AD，在DA上截取DE=DB； ③在AB上截取AC=AE，则点C就是所求作的线段AB 的黄金分割点.黄金分割的比值为： . （只要求记住） 3）矩形中，如果宽与长的比是黄金比，这个矩形叫做黄金矩形。 知识点四：平行线分线段成比例定理 (一)平行线分线段成比例定理 1.平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比. 例. 已知l1∥l2∥l3, A D l1 B E l2 C F l3 可得 2.推论:平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例. 由DE ∥BC 可得：.此推论较原定理应用更加广泛,条件是平行. 3.推论的逆定理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.那么这条直 线平行于三角形的第三边. (即利用比例式证平行线) 4.定理:平行于三角形的一边,并且和其它两边相交的直线,所截的三角形的三边与原三角形三边对应成 比例. 5.平行线等分线段定理：三条平行线截两条直线,如果在一条直线上截得的线段相等，