线性规划所有类型总结(很全的).docxVIP

线性规划，想说懂你很容易 线性规划是近两年高考的必考内容。学习简单线性规划的有关知识其最终 目的就是运用它们去解决在线性约束条件下目标函数的最值〔最大值或最小值〕问题。而有关的题型种类较多，变化多样，应用线性规划的思想解题不能完全拘泥于课本中的 z=ax+by 的形式，下面就从规划思想出发探讨常见的简单线性规划求最值问题。 1、目标函数形如 z=ax+by 型： y≥ x， 例 1Ⅱ〕设变量 x，y 满足约束条件： x 2y ≤ 2，，那么 z x 3 y 的最小值是〔 〕 x≥ 2． 图 1 A． 2 B ． 4 C． 6 D． 8 解：画出可行域〔如图 1〕，由 z x 3 y 可得 y 1 x z ，所以 3 3 z 表示直线3 y 1 x 3 D. z 的纵截距，由图可知当直线过点 A〔-2 ， 2〕时， z 的最小值是 -8 ，选 3 2、目标函数形如 z y b 型： a  x y 2 ≤ 0， 例 2〔2007. 辽宁〕变量 x， y 满足约束条件 x ≥ 1， 那么 y x  的取值范围是〔 〕 x y 7 ≤ 0， 图 2 A．[ 9 5 ,6] B ． 9 ，5 ， 6， C ． ，3 6， D ．[3，6] 解：画出可行域〔如图 2〕， y x 表示可行域内的点〔 x,y 〕与原点 连线的斜率，求得 A〔1，6〕，C〔 5 , 9 〕, 且求得 K =6，K = 9 ， 所以 9 5 2 2 6 ，选 A. x bx+cy OA OC 5 3、目标函数形如 z=a 型：  x y 1≥ 0， 例 3.〔2008. 北京〕假设实数 x，y 满足 y≥ 0， 那么 z x≤ 0， 图 3 3x 2 y 的最小值是〔 〕A．0 B． 1 C． 3 D．9 解：画出可行域〔如图 3〕，令 u=x+2y, 当 x=y=0 时 u 最小为 0，那 . 图 4 2 y么 z 3 2 y 的最小值是 1. 应选 B. 目标函数形如 z= ax by c 型： dx e 0 例 4．x、y 满足 4 x 3 y 12 ，那么 x 2 y 3 的取值范围是〔 〕 x 1 x A．[1,5] B ．[2,6] C ．[2,10] D ．[3,11] 解：做出可行域〔如图 4〕，因为 x 2 y 3 x 1 2( y 1) 1 2( y 1) ，其中 y 1 x 1 x 1 x 1 x 1 可视作可行域内的点与点 C〔-1 ， -1 〕连线的斜率，且求得 KCA=5， KCB=1，所以由图可知 1 1 5 ，所以 3 1 1 11选 D. x 1 目标函数形如 z x ( x a) 2 2y 2 0 ( y b)2 型： 图 5 例 5.x 、y 满足 x 最小值. 0, y 0 ，求 z ( x 1)2 ( y 1)2 的最大值和 解：目标函数的几何意义是可行域的点〔 x，y〕与点 C〔1，1〕的距离〔如图 5〕， 由图形易知点 C 与可行域内的点 O〔0，0〕和 A〔2，0〕的距离最大为 2 ，而 z 的最小值是点 C 到直线 x 2 y 2 0 的距离 5 ，所以 5 zm ax = 2 ， 5 zm in = 5 x 2 y 7 0 2 2 变式 x 、y 满足约束条件 3 x y 9 0 ，求 z=x +y x 2 y 3 0 的最大值和最小值， 2 2 2解：画出可行域〔如图 6〕，z=x +y 表示可行域内的点与原点 O 距离的平方，由 2 图可知， |OA| 最大， zm ax =〔 52 62 〕 =61, 最小值为点 O 到直 线 x+2y-3=0 的距离的平方，  zm in =〔 | 3 | =9 . 〕21 4 〕2 目标函数形如 z=|ax+by+c| 型： 图 6 x y 2 0 例 6. x 、y 满足 x y 4 0 ，求 z=|x+2y-4| 的最大值 . 解：因为 z | x 2 x y 5 0 2 y 4 | | x 2 y 4 | 5  5 , 所以 z 可看作是可行域内任 . 图 7 意一点〔 x,y 〕到直线 x+2y-4=0 的距离的 5 7 知，点 C到直线 x+2y-4=0 的距离 最大, 由 x y 2 0  可得 C〔7，9〕所以 z  =|7+2 ×9-4|=21. 2 x y 5 0 max 目标函数形如 z=ax2+by2 型： y 例 7. 变量 x、y 满足 y y x 1 2x 6 ，求 z=4x +y2 2 2  的最值 解：做出可行域，即以原点为中心的共离心率的椭圆系〔如图 8〕， 2 222由 z=4x +y 得 x y 1 ，目标函数 z 2