函数的周期性.docVIP

周期函数 定义：对于定义域内的每一个，都存在非零常数，使得恒成立，则称函数具有周期性，叫做的一个周期， 若是的一个周期，则（）也是的周期，所有周期中的最小正数叫的最小正周期。 例如：1、 的周期为 2、 的周期为 3、 的周期为 4、 的周期为 5、 的周期为 6、 的周期为 7、 的周期为 8、 的周期为 偶函数关于y（即x=0）轴对称，偶函数有关系式 奇函数关于（0，0）对称，奇函数有关系式 上述关系式是否可以进行拓展？答案是肯定的 探讨：（1）函数关于对称 也可以写成或 简证：设点在上，通过可知，，即点上，而点与点关于x=a对称。得证。 若写成：，函数关于直线 对称 （2）函数关于点对称 或 简证：设点在上，即，通过可知，，所以，所以点也在上，而点与关于对称。得证。 若写成：，函数关于点 对称 性质1、 若函数y＝f(x)同时关于直线x＝a与x＝b轴对称，则函数f(x)必为周期函数，且T＝2|a－b| 推论：偶函数满足 周期 性质2、若函数y＝f(x)同时关于点（a，0）与点（b，0）中心对称，则函数f(x)必为周期函数，且T＝2|a－b| 推论：奇函数满足 周期 性质3、若函数y＝f(x)既关于点（a，0）中心对称，又关于直线x＝b轴对称，则函数f(x)必为周期函数，且T＝4|a－b| 例题1、已知函数的图象关于点对称，且满足，又，，求…的值 例2（2009全国卷Ⅰ理）函数的定义域为R，若与都是奇函数，则( ) (A) 是偶函数 (B) 是奇函数 (C) (D) 是奇函数 解: 与都是奇函数，函数关于点，及点对称，函数是周期的周期函数.，所以有即是奇函数。故选D 例题3 (2009山东卷理)已知定义在R上的奇函数，满足,且在区间[0,2]上是增函数,若方程f(x)=m(m0)在区间上有四个不同的根,则 解:因为是定义在R上的奇函数，满足,所以,所以,函数图象关于直线对称，根据定理2函数是以8为周期的周期函数，且, ,又因为在区间[0,2]上是增函数,所以在区间[-2,0]上也是增函数.如图所示,那么方程f(x)=m(m0)在区间上有四个不同的根,不妨设由对称性知所以 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 y x f(x)=m (m0)