中考与圆有关的解答题.pdf

2012 年全国各地中考数学压轴题汇编 与圆有关的解答题 1．（2012 临沂） 如图，点 A ．B ．C 分别是 ⊙O 上的点， ∠B=60 °，AC=3 ，CD 是 ⊙O 的直径， P 是 CD 延长线上的一点，且 AP=AC ． （1）求证： AP 是 ⊙O 的切线； （2 ）求 PD 的长． 考点： 切线的判定；圆周角定理；解直角三角形。 解答： （1）证明：连接 OA ． ∵∠ B=60 °， ∴∠AOC=2 ∠B=120 °， 又 ∵OA=OC ， ∴∠ACP= ∠ CAO=30 °， ∴∠AOP=60 °， ∵AP=AC ， ∴∠ P=∠ACP=30 °， ∴∠ OAP=90 °， ∴OA ⊥AP ， ∴AP 是 ⊙O 的切线， （2 ）解：连接 AD ． ∵CD 是 ⊙O 的直径， ∴∠ CAD=90 °， ∴AD=ACtan30 °=3 × = ， ∵∠ADC= ∠B=60 °， ∴∠ PAD= ∠ADC ﹣∠P=60°﹣30°， ∴∠ P=∠PAD ， ∴PD=AD= ． 2 ．（2012 义乌市） 如图， 已知 AB 是 ⊙O 的直径， 点 C 、D 在 ⊙O 上，点 E 在 ⊙ O 外，∠EAC= ∠D=60 °． （1）求 ∠ABC 的度数； （2 ）求证： AE 是 ⊙O 的切线； （3 ）当 BC=4 时，求劣弧 AC 的长． 考点 ：切线的判定；圆周角定理；弧长的计算。 解答： 解： （1）∵∠ABC 与 ∠ D 都是弧 AC 所对的圆周角， ∴∠ABC= ∠D=60 °； （2 ） ∵AB 是 ⊙O 的直径， ∴∠ACB=90 °． ∴∠ BAC=30 °， ∴∠ BAE= ∠BAC+ ∠EAC=30 °+60 °=90 °， 即 BA ⊥AE ， ∴AE 是 ⊙O 的切线； （3 ）如图，连接 OC ， ∵OB=OC ，∠ABC=60 °， ∴△ OBC 是等边三角形， ∴OB=BC=4 ， ∠BOC=60 °， ∴∠AOC=120 °， ∴劣弧 AC 的长为 ． 3 ．（2012 杭州） 如图， AE 切 ⊙O 于点 E ，AT 交 ⊙O 于点 M ， N，线段 OE 交 AT 于点 C， OB ⊥AT 于点 B ，已知 ∠EAT=30 °，AE=3 ，MN=2 ． （1）求 ∠COB 的度数； （2 ）求 ⊙O 的半径 R； （3 ）点 F 在 ⊙O 上（ 是劣弧），且 EF=5，把 △OBC 经过平移、旋转和相似变换后，使它的两个 顶点分别与点 E，F 重合．在 EF 的同一侧，这样的三角形共有多少个你能在其中找出另一个顶点在 ⊙O 上的三角形吗请在图中画出这个三角形，并求出这个三角形与 △OBC 的周长之比． 考点 ：切 线的性质；含 30 度角的直角三角形；勾股定理；垂径定理；平移的性质；旋转的性质；相 似三角形的判定与性质。 专题 ：计 算题。 分析： （1）由 AE 与圆 O 相切，根据切线的性质得到 AE 与 CE 垂直，又 OB 与 AT 垂直，可得出两 直角相等，再由一对对顶角相等，利用两对对应角相等的两三角形相似可得出三角形 AEC 与 三角形 OBC 相似，根据相似三角形的对应角相等可得出所求的角与 ∠A 相等，由 ∠A 的度数 即可求出所求角的度数； （2 ）在直角三角形 AEC 中，由 AE 及 tanA 的值，利用锐角三角函数定义求出 CE 的长，再由 OB 垂直于 MN ，由垂径定理得到 B 为 MN 的中点，根据 MN 的长求出 MB 的长，在直角三角 形 OBM 中，由半径 OM=R ，及 MB 的长，利用勾股定理表示出 OB 的长，在直角三角形 OBC 中，由表示出 OB 及 cos30°的值，利用锐角三角函数定义表示出