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§3.3 函数极限存在的条件 §3 函数极限存在的条件 Ⅰ. 教学目的与要求 掌握函数极限存在的归结原则、柯西(Cauchy)收敛准则，并会利用它们求极限、证明相关命题. 掌握函数单侧极限存在的单调有界定理并会利用其求极限、证明相关命题. Ⅱ. 教学重点与难点: 重点: 归结原则、柯西(Cauchy)收敛准则. 难点: 归结原则、柯西(Cauchy)收敛准则的证明及应用. Ⅲ. 讲授内容 与讨论数列极限存在的条件一样，我们将从函数值的变化趋势来判断其极限的存在性．下面的定理只对.这种类型的函数极进行论述，但其结论对其它类型的函数极限也是成立的．下述归结原则有时称为海涅(Heine)定理． 定理3．8(归结原则) 设在内有定义．存在的充要条件是：对任何含于且以为极限的数列，极限都存在且相等． 证 [必要性] 设=则对任给的，存在正数，使得当时，有. 另一方面，设数列且，则对上述的，存在，使得当时有，从而有． 这就证明了. [充分性] 设对任何数列且，有，则可用反证法推出．事实上，倘若当时不以为极限，则存在某，对任何 (不论多么小)，总存在一点，尽管，但有 (§1习题2)．现依次取，则存在相应的点，使得 显然数列且，但当时不趋于．这与假设相矛盾，所以必有. 注1 归结原则也可简述为： 对任何． 注2 若可找到一个以为极限的,使不存在,或找到两个都以为极限的数列与，使与都存在而不相等，则不存在． 例1 证明极限不存在． 证 设则显然有 故由归结原则即得结论． 函数上的图象如图3—4所示，由图象可见，当时，其函数值无限次地在—1与1的范围内振荡，而不趋于任何确定的数． 归结原则的意义在于把函数极限归结为数列极限问题来处理．从而，我们能应用归结原则和数列极限的有关性质，来证明上一节中所述的函数极限的所有性质． 对于和这四种类型的单侧极限，相应的归结原则可表示为更强的形式．现以这种类型为例阐述如下： 定理3.9 设函数在点的某空心右邻域有定义． 的充要条件是：对任何以为极限的递减数列，有. 这个定理的证明可仿照定理3．8进行，但在运用反证法证明充分性时，对的取法要作适当的修改，以保证所找到的数列能递减地趋于．证明的细节留给学生作为练习． 相应于数列极限的单调有界定理，关于上述四类单侧极限也有相应的定理．现以这种类型为例叙述如下： 定理3．10 设为定义在上的单调有界函数，则右极限存在． 证 不妨设在上递增．因在上有界，由确界原理，存在，记为．下证． 事实上，任给，按下确界定义，存在，使得．取，则由的递增性，对一切，有 另一方面，由，更有．从而对一切有 ， 这就证得． 最后，我们叙述并证明关于函数极限的柯西准则． 定理3．11(柯西准则) 设函数在内有定义.存在的充要条件是:任给,存在正数,使得对任何有. 证 必要性 设，则对任给的,存在正数,使得对任何有.于是对任何有 . 充分性 　设数列且.按假设，对任给的， 存在正数，使得对任何，有．由 于，对上述的，存在，使得当时有，从而有 于是，按数列的柯西收敛准则，数列的极限存在，记为，即． 设另一数列且，则如上所证，存在， 记为．现证．为此，考虑数列 易见且 (见第二章§1例7)．故仍如上面所证， 也收敛．于是，作为的两个子列，与 必有相同 的极限．所以由归结原则推得。 按照函数极限的柯西准则，我们能写出极限不存在的充要条件：存 在，对任何 (无论多么小)，总可找到，使得 如在例1中我们可取对任何设正整数n令 则有，而 于是按柯西准则，极限不存在. Ⅳ 小结与提问:本节要求理解掌握函数单侧极限存在的单调有界定理、函数极限存在的归结原则、柯西(Cauchy)收敛准则，并会利用它们求极限、证明相关命题. Ⅴ 课外作业: 2、 3、4、5、7、8.