第三线性代数方程组的直接法.pptx

3.2 直接三角分解法 矩阵的三角分解（LU分解） 高斯消元法的矩阵形式 矩阵分解为单位下三角 和上三角矩阵的乘积 。 1. 杜利特尔(Doolittle)分解 矩阵直接三角分解 (常用的有两种三角分解形式) 。 2. 克洛特(Crout)分解 方程组可化为下面两个易求解的三角方程组 下三角阵L和上三角阵U的计算。由 根据矩阵乘法，比较等式两边可知： 这样，U的第一行和L的第一列被求出。 当k=2,3,…,n 时，有 由此得到LU分解的计算公式： 对k=1,2,…,n, 计算 计算中，上述两个公式交替使用，即从U的第一行和L的第一列开始，计算共分步，每步先计算U的一行，再计算L的相应一列，最后可求出L和U的全部元素，从而实现A的LU分解. 最后，求解两个三角形方程组。 求解Ly=b： 求解Ux=y： 3.3 解三对角方程组的三对角算法（追赶法） 特别的，如果 A 是三对角线性方程组 ，即 方程组求解的计算公式： “追”的过程 “赶”的过程 追赶法实现的一个充分条件 解： 注意到本例并不满足定理3.2的条件,但仍然可以 利用追赶法来求解.因此,定理3.2的条件仅是充分 条件. 3.4 平方根法和改进的平方根法 当A为对称正定矩阵时，A=LU分解将有更简单的对称形式，并且分解过程无需选主元，有良好的数值稳定性。 一、平方根法 定理3.3 对任意n阶对称正定矩阵 A，均存在下三角矩阵L， 使 A=LLT （1） 成立。进而, 如果规定 L 的对角元为正数，则 L 是唯一确定的. 称（1）式为对称正定矩阵A的Cholesky分解. 设 由矩阵乘法， A的下三角元素 可由下式表出： 由上式，自左向右逐列计算L中待定元素lij ,公式如下 对于 j= 1, 2,…, n 计算 ，i = j+1, j+2,…,n 这样， 求解Ly=b 求解LTx = y , k=1,2,…,j． 3.5 条件数与方程组的性态 一、 向量范数 非负性： 齐次性： 三角不等性： 非负实值函数 常用的几种向量范数：  1-范数：  2-范数： 上述3种向量范数统称为P-范数 解： 向量范数的等价性 向量序列的收敛性 定义 称Rn 中的向量序列{x(k)}在范数 || . ||意义下收敛于Rn 中的向量 x*, 如果有 这里|| . || 是向量的任意一种范数. 在Rn 中,若在某种范数意义下向量序列{x(k)}收敛,则在任何范数意义下该向量序列仍收敛, 即 按不同方式规定的范数,其值一般不同,但在各种范数下,考虑向量序列的收敛性时,结论是一致的,即要收敛就都收敛,且有相同极限. 二、 矩阵范数 定义 设 ，由 所定义的实数 称为矩阵 A的范数。 矩阵范数具有下列性质 非负性： 齐次性： 三角不等性： 相容性： 列范数： 行范数： 谱范数： 常用的几种矩阵范数： 定义 设 A的特征值为 称数 为矩阵 A 的谱半径。 注意：当A为对称矩阵时，有 所以|| A ||2 亦称为谱范数 谱半径 谱半径与范数的关系： 有 设 求 例2 解： 引入条件数的原因。 定义 如果线性方程组Ax=b中，A或b的元素的微小变化，就会引起方程组解的巨大变化，则称方程组为“病态”方程组，矩阵A称为“病态”矩阵．否则称方程组为“良态”方程组，矩阵A称为“良态”矩阵。 我们需要一种能刻画矩阵和方程组“病态”标准的量。 三、线性方程组的性态与矩阵条件数 考察下列2个方程组： 前者解为 后者解为 设 有方程组 Ax=b, A非奇异，b0. 表示由系数阵A的元素的误差所组成的误差矩阵 分别表示右端项b误差和解x的误差所组成的误差向量。 即 满足 （1） （2） 分析方程组原始数据变化对解的影响（这个问题也叫做“摄动分析”），是通过 和 作出的对 的某种估计。其变化大小与影响程度可利用向量范数和矩阵范数来描述。 引理 设方阵B的某种范数 || B||1, 则I±B非奇异且 推论 若A为非奇异方阵，且 则方阵 非奇异。 （3） 上述引理和推论的证明见教材p66 定理3.5 设A是非奇异矩阵，向量b0, x是方程组（1）的解，x+δx是方程组（2）的解，且矩阵A的误差δA满足条件 则有估计式 （5） （6） （4） 或 证明 由A可逆及x满足（1），有x=A-1b. 又从条件