【数论第四讲】-不定方程.pdf

不定方程 一、定义：把未知数的个数多于方程的个数的方程（组）称为不定方程．这 里的“不定”指的是方程的解不定． 二、基本思路与方法： 1．因式分解法，对方程的一边进行因式分解，另一边作质因数分解，对比两 边，转化为若干个方程构成的方程组，进而求解。 2．配方法，将方程的一边变为平方和的形式，另一边为常数，再用不等式予 以处理。 3．不等式估计，利用不等式工具确定不定方程中某元的范围，再利用整数性 “夹逼”出该元的取值。 4．运用整除性把“大数”化为“小数” ，使方程的解明朗化。 5．同余方法，如果不定方程 F (x , x , , x ) 0 有整数解，则对任意 m N* ，其整 1 2 n 数解 (x ,x , , x ) 满足 F (x , x , , x ) 0(mod m) 。利用这一条件，同余可以作为探求不 1 2 n 1 2 n 定方程整数解的一块试金石。 6．构造法，在不易得出方程的全部解时，通过构造法可以提供其部分解，从 而证明该方程有解或者有无穷多个解，适合于处理存在性问题。 7．无穷递降法，适合证明不定方程没有正整数解。 三、例题选讲： 例 1. 求所有满足方程 2x2 5 y2 11(xy 11) 的正整数解 (x , y) 。 解：法 1 （因式分解）：方程即 (2 x y )( x 5y ) 112 ，可得 2x y -121 -11 -1 1 11 121 x 5 y 1 11 121 -121 -11 -1 解得 (x , y ) (14,27) 。 法 2 （配方法）：方程即 11y 2 2 81 2 ，即 2 2 2 2( x ) 11 y (4 x 11y) 8 11 81y 4 8 例 2．将 311 表示成 k 个连续正整数之和，求项数 k 的最大值。 解 ： 设 这 k 个 连 续 正 整 数 中 最 小 的 数 为 a ， 则 311 ka 1 k (k 1) ， 即 2 11 11 2ka k( k 1) 2 3 ，作因式分解可得 k (2a k 1) 2 3 。 显然，为了让 k 尽量大，则需 a 尽量小，故需 k 与 2a k 1 的取值尽量接近，因 此令 k 2 35 ，2a k 1 36 ，可得 a 122 ， k 486 。 所以，项数 k 的最大值为 486。 2 例 3. 解方程： x + [ x ] –2 = 0 ，其中 [ x ] 表示不超过 x 的最大整数． 解 令 x [ x] r ,r [0,1) ，则方程变为 x2 x r 2 0 （不定方程）． 整理得 x 2 x 2 r ．因为 0 r 1 ，所以 0 x 2 x