七年级数学竞赛培优(含解析)专题09 含绝对值符号的一次方程.pdfVIP

09 含绝对值符号的一次方程 阅读与思考 绝对值符号中含有未知数的一次方程叫含绝对值符号的一次方程，简称绝对值方程．解这类方 程的基本思路是：脱去绝对值符号，将原方程转化为一元一次方程求解，其基本类型与解法是： 1．形如|axb|c(c…0)的最简绝对值方程 axbc axbc 这类绝对值方程可转化为两个普通一元一次方程： 或 ． 2．含多重或多个绝对值符号的复杂绝对值方程 这类绝对值方程可通过分类讨论转化为最简绝对值方程求解． 解绝对值方程时，常常要用到绝对值的几何意义、去绝对值符号法则、常用的绝对值基本性质 等与绝对值相关的知识、技能与方法． 例题与求解 【例1】 方程|x5|2x5的解是__________． （四川省竞赛试题） 解题思路：设法脱去绝对值符号，将原方程转化为一般的一无一次方程求解． 【例2】 方程|x1||x3|4的整数解有（ ）． A．2个 B．3个 C．5个 D．无穷多个 （“希望杯”邀请赛试题） 解题思路：借助数轴，从绝对值的几何意义入手能获得简解． x y z xy0 yz0 |x|3 |y|2 |z1|2 【例3】 已知：有理数 、 、 满足 ， ．并且 ， ， ．求 xy z 的值． （北京市“迎春杯”竞赛试题） x y z 解题思路：本题关键在于确定 、 、 的符号．三者的符号有联系，可围绕其中一个数分类 讨论． 【例4】 解下列方程： 1 （1）|x|3x1||4； （天津市竞赛试题） （2）|x3||x1|x1； （北京市“迎春杯”竞赛试题） （3）|x1||x5|4． （“祖冲之杯”邀请赛试题） 解题思路：解多重绝对值方程的基本方法是：根据绝对值定义，从内向外化简原方程；零点分 段讨论法是解多个绝对值方程的有效手段． 【例5】 已知|x2||1x|9|y5| |1y|，求xy 的最大值与最小值． （江苏省竞赛试题） 解题思路：已知等式可化为：|x2||x1||y1||y5|9，再根据绝对值的几何意义 来探求 、 的取值范围，进而可得x y xy 的最大值与最小值． 【例6】 当1„m0时，试判定关于 的方程x |1x|mx的解的情况． （上海市竞赛试题） 解题思路：由于1„m0，且|1x|…0，就有x„0，进而计算． 能力训练 A级