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07 级信本《数学模型》复习提要 ( 部分解）
二 .解答题
2 ．已知某商品在 k 时段的数量和价格分别为 xk 和 y k ，其中 1 个时段相当于商品的一个生产周
x k 1 x k
期 .设该商品的需求函数和供应函数分别为 y k 1 f ( ) 和 x k 1 g ( yk ) .试建立关于
2
商品数量的差分方程模型，并讨论稳定平衡条件 .
xk 1 xk
解 ：已知商品的需求函数和供应函数分别为 y k 1 f ( ) 和 xk 1 g ( yk ) .
2
设曲线 f 和 g 相交于点 P ( x , y ) ，在点 P 附近可以用直线来近似表示曲线 f 和 g ：
0 0 0 0
xk 1 xk
y y ( x ) , 0 （1）
k 1 0 0
2
x x (y y ) , 0 （2 ）
k 1 0 k 0
由（2 ）得 xk 2 x 0 (y k 1 y 0 ) （3 ）
x k 1 xk
（1 ）代入（ 3 ），可得 x k 2 x 0 ( x0 )
2
2x k 2 xk 1 xk 2x0 2 x0 , k 1,2, ， （4 ）
上述（ 4 ）式是我们所建立的差分方程模型，且为二阶常系数线性非齐次差分方程 .
为了寻求 P 点稳定平衡条件，我们考虑（ 4 ）对应的齐次差分方程的特征方程：
0
2
2 0
容易算出其特征根为
2
( ) 8
（5）
1, 2
4
当 8 时，显然有
2
( ) 8
2 （6 ）
4
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