模式识别：贝叶斯决策理论.pptx

模式识别 ——贝叶斯决策理论马勤勇2021/7/11一 最简单的贝叶斯分类算法 还使用前面的例子：鲈鱼(sea bass)和鲑鱼(salmon)。2021/7/112021/7/11使用一个特征亮度对这两种鱼进行表示。新来了一条鱼特征是x(亮度)，怎么根据特征x确定它到底是鲈鱼ω1还是鲑鱼ω2？已知数据：鲈鱼类标号ω1，鲑鱼类标号ω2。鲈鱼总数量占所有鱼总数量的比率为P(ω1)，鲑鱼总数量占所有鱼总数量的比率为P(ω2)。由鲈鱼的分布得知这条鱼的亮度x在分类为鲈鱼时出现的概率为p(x|ω1),由鲑鱼的分布得知这条鱼的亮度x在分类为鲑鱼时出现的概率为p(x|ω2)。2021/7/11如何求解？可以求出x属于鲈鱼ω1的概率P(ω1|x)和x属于鲑鱼ω2的概率P(ω2|x)。如果P(ω1|x)P(ω2|x)，就认为x是鲈鱼。现在的问题是如何求P(ω1|x)和P(ω2|x)。2021/7/11有一个概率公式： 从而推出： 换一种写法： 2021/7/11这就是著名的贝叶斯公式。其中P(ωj)叫做先验概率，就是类别出现的可能性；p(x|ωj)叫条件概率，就是在ωj时x出现的可能性；p(ωj|x)叫后验概率；p(x)是该样例出现的可能性。 因此： 对于上面的问题： 2021/7/11如果p(ω1|x)p(ω2|x)，那么就认为x属于ω1，即这条鱼是鲈鱼。同理于： 这几个基本数据都已经给出了，因此可以计算出不等式的结果。如果p(ω1|x)p(ω2|x)，那么就认为x属于ω2，即这条鱼是鲑鱼。同理于： 2021/7/11二 贝叶斯决策算法上面的分类有几个主要限制：特征向量中只包含一个特征：亮度。只有两个类别：鲈鱼和鲑鱼。仅仅允许分类，而不是根据分类采取行动。同时，没有加入损失控制：例如鲈鱼比鲑鱼贵。如果鲈鱼的罐头里装入了鲑鱼，那么客户会很生气；如果鲑鱼的罐头里装入了鲈鱼，那么客户很难感到有损失。那么这个时候分类后采取的行动就要偏向于便宜的鲑鱼。下面就看突破这几个限制的比较通用的贝叶斯分类器是什么样的。2021/7/11为了解决第一个显示，使用向量x代替原来的单变量x。x就叫做特征向量。比如鲈鱼鲑鱼分类的例子中，可以设计这样一个特征向量(x1,x2)，其中x1表示亮度，x2表示长度。 2021/7/11定义类别总共有c个：{ω1,ω2…,ωc}，第j个分类为ωj。此时，x属于类别ωj的概率依然用这个公式计算：2021/7/11但是，并不是简单地将x归于具有最大p(ωj|x)值的那个类别ωj。因为要考虑损失：定义进行第i个行动(比如将样例归于第i个类别)这种行为表示为：αi。在一个样例的真正类别为ωj时，进行第i个行动造成的损失是：λ(αi|ωj)。那么进行第i个行动的总损失：这里将每个类别为真正类别时采取第i个行动造成的损失都加起来，作为采取第i个行动的总损失。那么每个行动的总损失都可以求出来，采取其中总损失最小的行动。比如行动k最小，对应的行动是将样例归于第k个类别，那么就如此进行分类。 2021/7/11举例：贝叶斯决策算法在两类问题中的决策。定义 ，是在一个样例的真正类别为ωj时，进行第i个行动造成的损失。采取第1个行动时的总损失： 采取第2个行动时的总损失：2021/7/11时，采取第1个行动。即： 那么当 比如对于上面的例子λ11=λ22=0。鲈鱼ω1比鲑鱼ω2贵。如果鲈鱼ω1的罐头里装入了鲑鱼ω2，那么客户会很生气；如果鲑鱼ω2的罐头里装入了鲈鱼ω1，那么客户很难感到有损失。那么这个时候分类后采取的行动就要偏向于便宜的鲑鱼。因此设当真正类别是鲑鱼ω2的时候，将x归类为鲈鱼ω1(造成鲈鱼ω1的罐头里装入了鲑鱼ω2)的损失λ12=2，设当真正类别是鲈鱼ω1的时候，将x归类为鲑鱼ω2(造成鲑鱼ω2的罐头里装入了鲈鱼ω1)的损失λ21=0.2。可以看到，上面的公式变成了：2021/7/11三 判别函数在模式识别里，经常用gi(x)来表示x属于第i个类别的可能性。如果对于所有的j!=i都有：gi(x)gj(x)，那么认为x属于第i个类别ωi。比如令gi(x)=-R(αi|x)。上面是一个不等式关系，如果不等式两边都乘以相同的正数，或加上相同的树，或取自然对数。那么不等式的关系是不变的。因此不考虑损失时的贝叶斯判别函数： 可以写成：2021/7/11四 正态分布贝叶斯公式中的p(x|ωj)是条件概率，代表在类别为ωj时，x的概率。比如在ωj为鲈鱼时，一个特定亮度x的概率。条件概率分布中常见的一个分布是高斯分布(正态分布)。正态分布是最重要的一种概率分布。正态分布概念是由德国的数学家和天文学家Moivre于1733年首次提出的，但由于德国数学家Gauss(Carl Friedrich Gauss，1777—1855)率先将其应用于天文学家研究