《空间向量》基础知识点.pdf

学习好资料 欢迎下载 《空间向量及其运算》 2 ．空间向量的运算 定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘向量运算如下 OB OA AB a b ; BA OA OB a b ; OP a( R) 运算律：⑴加法交换律： a b b a ⑵加法结合律： (a b) c a (b c) ⑶数乘分配律： (a b) a b 3 ．平行六面体 平行四边形 ABCD 平移向量 a 到 A B C D 的轨迹所形成的几 何体，叫做平行六面体，并记作 ABCD-A B C D 它的六个面都 是平行四边形，每个面的边叫做平行六面体的棱 4. 平面向量共线定理 方向相同或者相反的非零向量叫做平行向量．由于任何一组平行向量都可以平移到同一条直线上，所 以平行向量也叫做共线向量． 向量 与非零向量 共线的充要条件是有且只有一个实数 λ，使 ＝ λ . b a b a 要注意其中对向量 a 的非零要求． 5 . 共线向量 如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向 量． a 平行于 b 记作 a // b ． 当我们说向量 a 、 b 共线（或 a // b ）时，表示 a 、 b 的有向线段所在的直线可能是同一直线， 也可能是平行直线． 6 ． 共线向量定理： 空间任意两个向量 、 （ ≠ ）， // 的充要条件是存在实数 λ，使 ＝ λ . a b b 0 a b a b 推论：如果 l 为经过已知点 A 且平行于已知非零向量 a 的直线，那么对于任意一点 O ，点 P 在直 线 l 上的充要条件是存在实数 t 满足等式 OP OA t a ．其中向量 a 叫做直线 l 的方向向量 . 空间直线的向量参数表示式： OP OA t a 或 OP OA t (OB OA ) (1 t )OA t OB ， 1 中点公式． OP (OA OB ) 2 7．向量与平面平行：已知平面 和向量 a ，作 OA a ，如果 直线 OA平行于 或在 内，那么我们说向量 a 平行于平面 ， 记作： a // ．通常我们把平行于同一平面的向量，叫做共面向 量 说明：空间任意的两向量都是共面的 8．共面向量定理：如果两个向量 a,b 不共线， p 与向量 a,b 共 面的充要条件是存在实数 x, y 使 p xa yb 推论：空间一点 P 位于平面 MAB 内的充分必要条件是存在有序实数对 x , y ，使 MP xMA yMB ①或对空间任一点 O ，有 OP OM xMA yMB ② 或 OP xOA yOB zOM ,( x y z 1) ③ 上面①式叫做平面 MAB 的向量表达式 9 ．空间向量基本定理：如果三个向量 a,b ,c 不共面，那么对空间任一向量 p ，存在一个唯一的有序 实数组 x, y, z ，使 p xa yb zc 若三向量 a,b,c 不共面，我们把 { a, b ,c} 叫做空间的一个基底， a ,b ,c 叫做基向量，空间任意三 个不共面的向量都可以构成空间的一个基底 推论：设 O , A, B ,C 是不共面的四点，则对空间任一点 P ，都