双因素试验的方差分析.docVIP

PAGE PAGE 7 第二节 双因素试验的方差分析 进行某一项试验，当影响指标的因素不是一个而是多个时，要分析各因素的作用是否显著，就要用到多因素的方差分析.本节就两个因素的方差分析作一简介.当有两个因素时，除每个因素的影响之外，还有这两个因素的搭配问题.如表9-7中的两组试验结果，都有两个因素A和B，每个因素取两个水平. A A B A1 B1 B2 30 50 100 80 表9-7(a) 表9-7(b) A A B A1 B1 B2 30 50 70 90 表9-7（a）中，无论B在什么水平（B1还是B2），水平A2下的结果总比A1下的高20；同样地，无论A是什么水平，B2下的结果总比B1下的高40.这说明A和B单独地各自影响结果，互相之间没有作用. 表9-7(b)中，当B为B1时，A2下的结果比A1的高，而且当B为B2时，A1下的结果比A2的高；类似地，当A为A1时，B2下的结果比B1的高70，而A为A2时，B2下的结果比B1的高30.这表明A的作用与B所取的水平有关，而B的作用也与A所取的水平有关.即A和B不仅各自对结果有影响，而且它们的搭配方式也有影响.我们把这种影响称作因素A和B的交互作用，记作A×B.在双因素试验的方差分析中，我们不仅要检验水平A和B的作用，还要检验它们的交互作用. 1.双因素等重复试验的方差分析 设有两个因素A，B作用于试验的指标，因素A有r个水平A1,A2,…,Ar,因素B有s个水平B1,B2,…,Bs,现对因素A，B的水平的每对组合(Ai,Bj),i=1,2,…,r；j=1,2,…,s都作t(t≥2)次试验（称为等重复试验），得到如表9-8的结果： 表9-8 因 因 素 B 因 素 A B1 B2 … Bs A1 x111, x112…, x11t x121,x122…, x12t … x1s1, x1s2…, x1st A2 x211, x212…, x21t x221,x222…,x22t … x2s1, x2s2,…, x2st … … … … … Ar xr11, xr12…, xr1t xr21, xr22…, xr2t … xrs1, xrs2…, xrst 设xijk~N(μij,σ2), i=1,2,…,r； j=1,2,…,s； k=1,2,…,t,各xijk独立.这里μij,σ2均为未知参数.或写为 (9.16) 记 μ=, , i=1,2,…,r, , j=1,2,…,s, , i=1,2,…,r, , j=1,2,…,s, . 于是 μij=μ+αi+βj+γij. (9.17) 称μ为总平均，αi为水平Ai的效应，βj为水平Bj的效应，γij为水平Ai和水平Bj的交互效应，这是由Ai,Bj搭配起来联合作用而引起的. 易知 =0, =0， =0, j=1,2,…,s, =0, i=1,2,…,r， 这样（9.16）式可写成 (9.18) 其中μ,αi,βj,γij及σ2都为未知参数. （9.18）式就是我们所要研究的双因素试验方差分析的数学模型.我们要检验因素A，B及交互作用A×B是否显著.要检验以下3个假设： 类似于单因素情况，对这些问题的检验方法也是建立在平方和分解上的.记 , , i=1,2,…,r； j=1,2,…,s， , i=1,2,…,r， , j=1,2,…,s， ST=. 不难验证分别是μ,μi·,μ·j,μij的无偏估计. 由 ， 1≤i≤r,1≤j≤s,1≤k≤t 得平方和的分解式： ST=SE＋SA＋SB＋SA×B， (9.19) 其中 SE=， SA=， SB=， SA×B=. SE称为误差平方和，SA，SB分别称为因素A，B的效应平方和，SA×B称为A，B交互效应平方和. 当H01:α1=α2=…=αr=0为真时， FA= ~F(r-1,rs(t-1))； 当假设H02为真时， FB= ~F(s-1,rs(t-1))； 当假设H03为真时， FA×B= ~F((r-1)(s-1),rs(t-1)). 当给定显著性水平α后，假设H01，H02，H03的拒绝域分别为： (9.20) 经过上面的分析和计算，可得出双因素试验的方差分析表9-9. 表9-9 方差来源 平方和 自由度 均方和 F比 因素A SA r-1 FA= 因素B SB s-1 FB= 交互作用 SA×B (r-1)(s-1) FA×B= 误差 SE rs(t-1) 总和 ST rs