数学物理方程第二章.pptx

第二章 分离变量法一、有界弦的自由振动二、有限长杆上的热传导三、拉普拉斯方程的定解问题四、非齐次方程的解法五、非齐次边界条件的处理六、关于二阶常微分方程特征值问题的一些结论基本思想： 首先求出具有变量分离形式且满足边界条件的特解，然后由叠加原理作出这些解的线性组合，最后由其余的定解条件确定叠加系数。特点：a.物理上由叠加原理作保证，数学上由解的唯一性作保证；b.把偏微分方程化为常微分方程来处理，使问题简单化。适用范围：波动问题、热传导问题、稳定场问题等一 有界弦的自由振动1 求两端固定的弦自由振动的规律令带入方程：令带入边界条件3） 令 ， 为非零实数2）1）特征（固有）值问题：含有待定常数常微分方程在一定条 件下的求解问题特征（固有）值：使方程有非零解的常数值特征（固有）函数：和特征值相对应的非零解分情况讨论：?分离变量?求特征值和特征函数?求另一个函数?求通解?确定常数分离变量法可以求解具有齐次边界条件的齐次偏微分方程。 2 解的性质 其中：x=x0时：t=t0时：驻波法 例1：设有一根长为10个单位的弦，两端固定，初速为零，初位移为 ，求弦作微小横向振动时的位移。解：弦的振动振幅放大100倍，红色、蓝色、绿色分别为n=1,2,3时的驻波。例2求下列定解问题解：初始条件若l=1,a=10时的震动。例3 求下列定解问题解：例4 求下列定解问题解：令带入方程：二 有限长杆上的热传导解：令带入方程：令例5 求下列定解问题令解：带入方程：令例6 求下列定解问题解：思考若 则u为多少？为什么会出现这样的现象？有界杆上的热传导（杆的两端绝热）若分离变量流程图三 拉普拉斯方程的定解问题1 直角坐标系下的拉普拉斯问题解：例7 求下列定解问题解：例8 求下列定解问题解：2 圆域内的拉普拉斯问题例9 求下列定解问题解：欧拉方程令欧拉方程 例10 求下列定解问题解：令欧拉方程 其它为零例12 求下列定解问题解：欧拉方程 其他为零例13 求下列定解问题解：例13 求下列定解问题解：例14 求下列定解问题解法一：令解法二：令常用本征方程 齐次边界条件