概率论与数理统计第1213讲数字特征.pptx

前面讨论了随机变量及其分布。 如果我们知道了随机变量 X 的概率分布，那么，关于 X 的全部概率特征也就知道了。 然而，在实际问题中，概率分布是较难确定的。且有时在实际应用中，我们并不需要知道随机变量的所有性质，只要知道其一些数字特征就够了，例如分布的中心位置、分散程度等。 因此，在对随机变量的研究中，确定随机变量的某些数字特征是非常重要的。最常用的数字特征是：期望和方差。第四章 数字特征第一节 期望第二节 方差第三节 协方差与相关系数第四节 矩与协方差矩阵4.1期望分赌本问题(17世纪) 甲乙两赌徒赌技相同，各出赌注50元.无平局，谁先赢3局，则获全部赌注.当甲赢2局、乙赢1局时，中止了赌博.问如何分赌本?两种分法 1. 按已赌局数分： 则甲分总赌本的2/3、乙分总赌本的1/3 2. 按已赌局数和再赌下去的“期望” 分： 因为再赌两局必分胜负，共四种情况：甲甲、甲乙、乙甲、乙乙所以甲分总赌本的3/4、乙分总赌本的1/4 若按已赌局数和再赌下去的“期望” 分， 则甲的所得 X 是一个可能取值为0 或100 的随机变量，其分布律为： X0 100P1/4 3/4甲的“期望” 所得是：0?1/4 +100 ? 3/4 = 75.4.1.1离散型随机变量的期望 概念引入： 某车间对工人生产情况进行考察，车工小张每天生产的废品数 X 是一个随机变量。如何定义 X 的平均值？若统计了100天小张生产产品的情况，发现：32天没有出废品；30天每天出一件废品；17天每天出两件废品；21天每天出三件废品。可以得到这100天中每天的平均废品数为一般来说, 若统计了n天,n0天没有出废品;n1天每天出一件废品;n2天每天出两件废品;n3天每天出三件废品.(假定每天至多出三件废品) 可以得到这n天中，每天的平均废品数为这是以频率为权的加权平均由频率与概率的关系，不难想到：求废品数X的平均值时，用概率替代频率，得平均值为： 这是以概率为权的加权平均这样，就得到一个确定的数 ——随机变量X的期望(均值) 。 定义: 设X是离散型随机变量, 概率分布为 P{X=xk}=pk ,k=1,2, …。称为X 的数学期望(或均值)。例1：解：例2，甲乙两人射击，所得分数分别用随机变量X1，X2表示，且X1，X2分布律分别为X1012P00.20.8X2012P0.60.30.1试评定他们成绩的好坏。常用离散型随机变量的期望1.两点分布：X ～ B(1, p), 0 p 1，则 E(X)= 1?p + 0?(1-p) = p . 2.二项分布：X ～ B(n, p)，其中 0 p 1，则3. 泊松分布: X ～P(?)，其中? 0 ，则 E(X)= ? .4.1.2 连续型随机变量的期望定义2：设X是连续型随机变量，概率密度为 f (x), 则称 为X的数学期望。 由随机变量数学期望的定义，不难计算出：若X 服从参数为 λ 的指数分布，则若X 服从 ，则例4 二维随机向量（X,Y）的概率分布如下，求E(X),E(Y)Y -1 0 1X012 0.1 0 0.1 0.1 0.1 0 0 0.1 0.5 由（X,Y）的概率分布得X,Y 的边缘概率分布为X0 1 2Y-1 0 1P0.2 0.2 0.6P0.2 0.2 0.64.1.3 随机变量函数的期望问题的提出： 设随机变量X的分布已知，需要计算的量并非X的期望，而是X的某个函数的期望，比如说是Y= g(X) 的期望。那么，如何计算呢？ 一种方法是：由于Y=g(X) 也是随机变量，故应有概率分布，其分布可以由X的分布求出。一旦知道了Y 的分布, 就可以按照期望的定义把 E(Y) 计算出来。 但使用该方法 必须先求出Y的分布。一般说来，这是比较复杂的事。 那么, 可否不求Y的分布，而只根据X的分布来计算 E(Y) 呢？ 答案是肯定的。且有如下公式： 设X是一个随机变量，Y=g(X)，则 当X为离散型时, X 的分布律为P(X= xk)=pk ; 当X为连续型时, X 的密度函数为 f(x)。 该公式的重要性在于：当我们求 E[g(X)]时, 不必求g(X)的分布，而只需知道X的分布足矣。这对求 g(X) 的期望带来了极大方便。例5：解：例6：解：例7 已知随机变量X的分布律如下，求E(aX+b)X1 2 3P0.1 0.2 0.7数学期望的性质 期望性质的应用例9: 求二项分布的数学期望。 分析：若 X ~ B(n, p)，则 X 表示n重贝努里试验中“成功”的次数。 设i=1,2,…n.则 X = X1+X2+…+Xn，所以