概率论第二章21一维离散.pptx

第二章 离散型随机变量及分布在第一章里, 我们主要研究了随机事件及其概率. 同学们可能会注意到在某些例子中, 随机事件和实数之间存在着某种直接的联系. 例如, 在掷骰子试验中, 我们关心掷出的点数；在机器人投篮问题中, 我们关心的是机器人首次命中时已投篮的次数.在灯泡寿命问题中, 我们关心灯泡使用的小时数. 对于这类随机现象, 其试验结果显然可以用数值来描述, 并且随着试验的结果不同而取不同的数值.而有些初看起来与数值无关的随机现象, 也常常能联系数值来描述. 由此引入随机变量的概念.例1设随机试验 为抛硬币试验, 我们以符号 表示出现的是正面, 符号 表示出现的是反面, 为了更好的刻画出现正面,出现反面.§2.1 随机变量这类随机试验, 我们引入量化指标:例2设随机试验 为一次打靶试验, 其基本结果是中与击中目标,未击中目标.不中. 同样可以引入量化指标:例3设随机试验 为一次考试试验, 其基本结果是通过考试通过,考试未通过.与未通过. 同样可以引入量化指标: 在上面的三个例子中, 对只有两个基本结果的随机试验, 我们可用两个取值来加以刻画. 并且这样的刻画具有一种共性.例4设随机试验 表示射击试验, 以 表示首次命中时所进行过的射击次数. 则 的取值为例5设随机试验 表示 重Bernoulli试验, 以 表示事件 在 次试验中出现的次数, 则 的取值为 将上面的问题一般化, 我们引入: 给定一个随机试验,是其样本空间, 如果对 中的每一个样本点, 有一个实数 与它对应, 那么把这个定义域为样本空间 的单值实值函数称为一维随机变量. 常用大写字母 等来表示.定义2.1 Random Variable 例6: 掷一枚均匀骰子，其样本空间为定义随机变量: 不同的随机变量由于关心的角度不同，我们用不同的对应关系得到定义表明随机变量 是样本点 的函数, 它的定义不涉及概率的概念, 常写为,而对实数域上任意数集, 集合 表示一个随机事件, 我们常简单表示为 , , ,等等.如在掷硬币试验中, 掷出正面这个随机事件可表示为相应的概率应该记为 因为不致引起混淆, 我们简记为比如: 定义: 设 是 上的随机变量,若 的全部可能取值为有限个或可列个(即 的全部可能取值可一一列举出来) 则称 为离散型随机变量.注: 由定义可知, 若样本空间 是离散的, 则定义在 上的任何单值实函数都是离散型随机变量. 反之不然. §2.2 概率函数如射箭的例子中, 我们可以将离靶心的距离对应环数.设离散型随机变量 的值域为事件 的概率记为根据概率的定义与性质,满足12为随机变量 的概率函数或分布律.反之,任意一个满足以上二性质的数列, 都可以作当满足这两个条件时, 称为某离散型随机变量的分布律.这为我们求某些特殊级数的和提供了便利.通常, 我们把分布律用如下表格表示：引例: 三分球犯规, 罚球3次. 随机事件 表示 得k分.求 的概率. 假设罚球命中率为0.9, 各次罚球是相互上一章中有一例子独立的.我们用随机变量来改写一下. 表达既清晰又简单.随机变量 表示得分, 则 的分布律为:例: 三分罚篮显然比写成四个等式要简洁直观.如果我们需要求得分或至少得两分的概率, 那么, 用随机变量形式表示出来就是可见, 分布律完全刻划了离散型随机变量取值的规律. 这样, 对于离散型随机变量, 只要知道它的一切可能取值和取这些值的概率, 也就是说知道了它的分布律,就掌握了这个离散型随机变量的统计规律. 例1设袋中有5球, 编号为 从袋中随机地取一球, 以 表示取到的球的编号, 求 的分布.解 以 表示取到球的编号, 则 的取值为 因1号球只有一个, 故同理,从而随机变量 的分布律为及1 0-1分布 若如果随机变量 的分布律为:则称 服从 0-1分布. 记为§2.3 常用离散型随机变量贝努利试验成功的次数 服从0-1分布, 参数 为成功只有成功和失败两种对立结局的试验称做贝努利试验.