分析数学相关微积分.pptx

复合函数的微分法1、全导数推广到中间变量多于两个的情况:上节内容回顾2、自变量多于一个的情形链式法则如图示特殊地:其中就有复合函数求导的关键：一定要先明确该函数的复合关系，分清因变量，中间变量，自变量，列出变量关系图，再正确运用求导法则。3、全微分形式不变性可以利用微分的运算法则来求偏导数。好处：不用区分变量。4、复合函数的高阶偏导数结合高阶偏导数定义，求导运算法则，复合函数链式法则，相同项合并等。设函数是二元可微函数，练习1.(2007考研)答案: （2009年考研题）练习2.答案：练习3.解注意导数记号二、隐函数的求导方法 (一）、一个方程所确定的隐函数及其导数（二）、方程组所确定的隐函数组及其导数讨论 :1) 方程在什么条件下才能确定隐函数 .例如, 方程当 C 0 时, 能确定隐函数;当 C 0 时, 不能确定隐函数;2) 在方程能确定隐函数时,研究其连续性、可微性及求导方法问题 .(一)、一个方程确定的隐函数及其导数设F(x,y)=0满足定理中的条件，确定了y=f(x)，于是有弄清此两者的含义两边对x求导，有隐函数的求导公式例1. 验证方程在点(0,0)某邻域并求可确定一个单值可导隐函数解: 令则①连续 ,②③由 定理1 可知,在 x = 0 的某邻域内方程存在单值可导的隐函数 且导数的另一求法— 利用隐函数求导两边对 x 求导两边再对 x 求导令 x = 0 , 注意此时解令则相互独立的自变量因变量在方程F(x,y,z)=0两边对x求导，有有隐函数求偏导公式同理可得：注：分清函数关系。z 是因变量，x,y是自变量。（公式法）令解1则解2利用隐函数求导方法方程两边直接对x求偏导。再对 x 求导注：此时z要看成是x,y的二元函数思路：解令则整理得整理得整理得例5解1公式法解2直接利用隐函数求导法原方程两边直接对x求偏导数，得整理，得原方程两边直接对y求偏导数，得整理，得解3全微分法在原方程两边取微分，得整理例6解方程两边同时对t求导，得上式两边同乘以t,得即即归纳：由一个方程确定的隐函数求导：1. 先确定函数关系，分清自变量，因变量两个变量，一个方程，确定一个一元隐函数；三个变量，一个方程，确定一个二元隐函数；依此类推2. 套用公式时，注意（二）、方程组所确定的隐函数组及其导数隐函数存在定理还可以推广到方程组的情形.以两个方程确定两个隐函数的情况为例 ,即由 F、G 的偏导数组成的行列式称为F、G 的雅可比( Jacobi )行列式.定理3.设函数满足:①②在点的某一邻域内具有连续偏导数；③则方程组的某一邻域内可唯一确定一组满足条件的单值连续函数且有偏导数公式 :定理证明略.仅推导偏导数公式如下：二元线性方程组解的公式解:有隐函数组则设方程组两边对 x 求偏导得在点P 的某邻域内系数行列式故得同样可得解1直接代入公式；运用公式推导的方法，解2将所给方程的两边对x求偏导并移项将所给方程的两边对 求导，用同样方法得例8解第一个方程对x求偏导，并注意到z是x的函数，得第二个方程对x求偏导，得得得第一个方程对y求偏导，并注意到z是y的函数，得第二个方程对y求偏导，得得得四个变量，两个方程，确定两个二元函数；三个变量，两个方程，确定两个一元函数；依次类推。例9解方程组两边同时对x求导，得两式相加，得得两式相减，得得例10解得作业P72 13, 16, 17, 19, 20, 22, 23, 24预习 第五节 方向导数与梯度内容小结1. 隐函数( 组) 存在定理确定一个一元函数确定一个二元函数确定两个二元函数2. 隐函数 ( 组) 求导方法方法1. 利用复合函数求导法则直接计算 ;方法2. 利用微分形式不变性 ;方法3. 代公式练习题 1. 设有连续的一阶偏导数 ,又函数分别由下列两式确定 :(2001考研)解: 两个隐函数方程两边对 x 求导, 得解得因此2. 设是由方程和所确定的函数 , 求(99考研)解法1 分别在各方程两端对 x 求导, 得解法2微分法.对各方程两边分别求微分:化简得消去可得2005年考研题3将所给方程的两边对 求导，得4.解将所给方程的两边对 求导，得同理，思考题思考题解答练 习 题练习题答案练 习 题练习题答案运行时, 点击按钮“雅可比”, 可显示雅可比的简介, 并自动返回.运行时, 点击按钮 “公式”,可显示二阶线性方程组解的公式, 演示结束自动返回.