第二节 聚点,内点,界点.pptVIP

§2. 聚点，内点，界点 系,存在三种互斥情况: 1 定义:聚点，内点，界点,孤立点 第一：在 p0 点的附近根本没有E的点。 第二：在 p0附近全是E的点。 第三：在 p0附近既有属于E的点也有不 属于E 的点。 定义1 P0是E的内点. P0是E的外点. 则称P0是E的边界点.(界点) / 定义2 的E中的一点. 限多个点,则称p0是E的聚点. p 2 聚点的类型 1) E中无聚点 2) E中有有限个聚点 3) E中有无限多个聚点 E=(0，1)、[0，1]内全体实数都是E的聚点。 注意：聚点p0不一定是E的中的点。 定理1 下面三个命题是等价的 (1) p0是E的聚点. (2) 对于p0的任一邻域内,至少含有一个 属于E而异于p0的点. 证明： 故只须证 依次构造出E中互异的 使 定义 3 注意： 证明: 设P0为E的孤立点, 由定义P0∈E, 但P0不是E的聚点, 再由定理1知存在P0的邻域 U(P0),在U(P0)中除P0外不含有E中任何点, 从而E∩U(P0)={P0}. 反之, E U(P0), 使得U(P0)∩E={P0} 则P0∈E 但U(P0)中不含E中的点, 由定理1知P0不是聚点, 故P0是E的孤立点. 注 (2) E的界点不是聚点便是孤立点。 点的类型 内点 界点 外点 或 聚点 孤立点 外点 (2) E的界点不是聚点便是孤立点。 证明: 设P0是E的边界点, 若P0不是E 的聚点, 则存在U(P0)不含有异于P0的E中点, 又P0是E 的边界点, 知P0的任意邻域 U(P0)∩E≠φ, 特别对于U(P0),也有 U(P0)∩E≠φ, 故 U(P0)∩E={P0}, 由注(1)知P0是E的孤立点. 注 （1）孤立点是界点 （2）内点是聚点 （3）界点是聚界点或孤立点 （4）聚点含内点和聚界点 （5）界点和聚点不一点 因此得出以下几项注意 3 开核、边界、导集、闭包 定义 4 (3) E 的全体聚点所成的集合，称为E 的 导集。 记为 闭包的其他形式： 闭包与开核的对偶关系： 定理 2 定理 3 证明： 1) 由定理2 定理 3 2) 反之设 有 若 则 若 则 则{Pn}中最多有有限个点属于A,其余的 无限多个点属于B。 / / 再由定理1(3)得 故也有 由1）2）知 非空， A 证明： 集合为至多可数集。 对任意 有 取有理数 令 由1) 由2) 则 定理 4 设E是一个有界的无限集合，则E至 少有一个聚点。 定理 5 (Bolzano--weierstrass)