成果线性代数第三章.pptx

第三章 线性方程组3.1 消元法3.2 n维向量及其线性相关性3.3 向量组的秩3.4 线性方程组解的结构线性方程组的矩阵表示n 为线性方程组变量的个数增广矩阵B（或者 ）=（A | b）问题：3.1 消元法例1 求解非齐次方程组的解解方程组有无穷多解，一般解（通解）为为自由变量C为任意常数其它变量为非自由变量例1 求解非齐次方程组的解解 对增广矩阵B进行初等行变换方程组有无穷多解，且有例２ 求解非齐次线性方程组解对增广矩阵B进行初等变换，方程组无解．非齐次线性方程组非齐次线性方程组无解无穷多解唯一解推论： 如果n元齐次线性方程组中，方程个数少于变量的个数即mn，则方程组必有非零解。定理3.1.3如果n元齐次线性方程组的系数矩阵A是方阵，则方程组有非零解的充分必要条件为|A|=0。()()=.rArB.这与方程组有解相矛盾因此=Axb,设方程组有解()()rAr、B,设证必要性则B的行阶梯形矩阵中最后一个非零行对应矛盾方程０＝１，()()=rArB,设()()()==￡rArBrrn,设 把这 行的第一个非零元所对应的未知量作为非自由未知量,其余 个作为自由未知量,并令 个自由未知量全取0，-nr充分性即可得方程组的一个解．证毕()=rAn,AnD,设则在中应有一个阶非零子式n()Dn,所对应的个方程只有零解根据克拉默定理n()rAn.即证必要性从而这与原方程组有非零解相矛盾，()=rArn,设-nr.从而知其有个自由未知量 .即可得方程组的一个非零解充分性任取一个自由未知量为１，其余自由未知量为０，齐次线性方程组：系数矩阵化成行最简形矩阵，便可写出其通解；非齐次线性方程组：增广矩阵化成行阶梯形矩阵，便可判断其是否有解．若有解，化成行最简形矩阵，便可写出其通解；例3 求解齐次线性方程组解即得与原方程组同解的方程组由此即得C1、C2为任意常数例４ 解证对增广矩阵B进行初等变换，方程组的增广矩阵为例５ 设有线性方程组解其通解为这时又分两种情形：定义3.2.1 n 个数所组成的有序数组的 n 个分量，第 i 个数 称为第 i 个分量。3.2 n 维向量及其线性相关性3.2.1 n 维向量及其运算称为一个 n 维向量，这 n 个数称为该向量这里定义的 n 维向量就是指行(或列)矩阵。n 维向量一般用?、?、?、?、?表示分量一般用小写字母表示称为列向量。称为行向量。例. 5 维向量 同一维数的列向量 (或行向量) 所组成的集合称为向量组。m×n 阵 A 的 列向量组:行向量组:这里定义的 n 维向量就是指行(或列)矩阵。所以 n 维向量的关系与运算同矩阵运算。特殊的 n 维向量零向量 解向量 单位向量 ? j特殊的 n 维向量组单位向量组（基本单位向量组）记线性方程组的向量表示则方程组的向量表示为3.2.2向量组的线性相关性（1）向量的线性组合和向量?，定义3.2.7设向量组如果存在s个数使得称向量?为向量组 的一个线性组合，或称向量?可以由向量组线性表示注意：（1）n维零向量可以由任一n维向量组线性表示（2）任一n维向量都可以由n维单位向量组线性表示线性表示，并写出一种表示式.证明 ? 能由例6证明 ?解方程组既解方程组所以得?（表示方法不唯一） 如果非齐次线性方程组有唯一解，则线性表示方法唯一； 如果非齐次线性方程组有无穷多解，则线性表示方法不唯一； 如果非齐次线性方程组无解，则无法线性表示；线性表示线性表示，并写出一种表示式.所以? 能由证明 ? 能由例6?证明 注意注意下标所以?线性组合总结：对向量组和向量?，要求证向量?能否由向量组 线性表示只需解非齐次线性方程组 如果非齐次线性方程组有唯一解，则线性表示方法唯一； 如果非齐次线性方程组有无穷多解，则线性表示方法不唯一； 如果非齐次线性方程组无解，则无法线性表示；（2）线性相关和线性无关定义3.2.8对n维向量组如果存在不全为零的数则称n维向量组线性相关；否则，称n维向量组线性无关。例7试讨论向量组 及向量组 的线性相关性.解：设即系数行列式齐次线性方程组有非零解，所以向量线性相关解：设方程组即求解方程组得唯一解齐次线性方程组仅有零解，所以向量组线性无关。线性相关和线性无关总结：向量组线性相关? 齐次线性方程组 有非零解向量组线性无关? 齐次线性方程组