几何证明的好方法——截长补短.pdf

v1.0 可编辑可修改 几何证明的好方法——截长补短 有一类几何题其命题主要是证明三条线段长度的“和”或“差”及其比例关 系。这一类题目一般可以采取“截长”或“补短”的方法来进行求解。所谓“截 长”，就是将三者中最长的那条线段一分为二，使其中的一条线段与已知线段相 等，然后证明其中的另一段与已知的另一段的大小关系。所谓“补短” ，就是将 一个已知的较短的线段延长至与另一个已知的较短的长度相等。 然后求出延长后 的线段与最长的已知线段的关系。 有的是采取截长补短后， 使之构成某种特定的 三角形进行求解。 截长法： （1）过某一点作长边的垂线 （2）在长边上截取一条与某一短边相同的线段，再证剩下的线段与另一短边相 等。…… 补短法 （1）延长短边。 （2）通过旋转等方式使两短边拼合到一起。…… 几种截长补短解题法类型 我们大致可把截长补短分为下面几种类型； 类型① a ±b=c 类型② a ±b=kc a ±b 类型③ c 类型④ c 2 =a ·b 对于类型①， 可采取直接截长或补短， 绕后进行证明。 或者化为类型②证明。 对于②，可以将 a ±b 与 c 构建在一个三角形中，然后证明这个三角形为特 殊三角形，如等边三角形，等腰直角三角形，或一个角为 30°的直角三角形等。 1 v1.0 可编辑可修改 对于类型③，一般将截长或补短后的 a ±b 与 c 构建在一个三角形中，与类 型②相同。实际上是求类型②中的 k 值。 c b 对于类型④，将 c2 =a ·b 化为 = 的形式，然后通过相似三角形的比例关系进 a c 行证明。在证明相似三角形的过程中，可能会用到截长或补短的方法。 例： C F D E H P G B A 在正方形 ABCD中，DE=DF，DG CE，交 CA于 G，GH AF，交 AD于 P， 交 CE延长线于 H，请问三条粗线 DG，GH，CH的数量关系 方法一（好想不好证） C F D E H P G B A 方法二（好证不好想） 2 v1.0 可编辑可修改 C F D E H P G B M A 例题不详解。 （第2 页题目答案见第 3 、4 页） A B F D C E