几何证明的好方法——截长补短.pdf

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v1.0 可编辑可修改 几何证明的好方法——截长补短 有一类几何题其命题主要是证明三条线段长度的“和”或“差”及其比例关 系。这一类题目一般可以采取“截长”或“补短”的方法来进行求解。所谓“截 长”,就是将三者中最长的那条线段一分为二,使其中的一条线段与已知线段相 等,然后证明其中的另一段与已知的另一段的大小关系。所谓“补短” ,就是将 一个已知的较短的线段延长至与另一个已知的较短的长度相等。 然后求出延长后 的线段与最长的已知线段的关系。 有的是采取截长补短后, 使之构成某种特定的 三角形进行求解。 截长法: (1)过某一点作长边的垂线 (2)在长边上截取一条与某一短边相同的线段,再证剩下的线段与另一短边相 等。…… 补短法 (1)延长短边。 (2)通过旋转等方式使两短边拼合到一起。…… 几种截长补短解题法类型 我们大致可把截长补短分为下面几种类型; 类型① a ±b=c 类型② a ±b=kc a ±b 类型③ c 类型④ c 2 =a ·b 对于类型①, 可采取直接截长或补短, 绕后进行证明。 或者化为类型②证明。 对于②,可以将 a ±b 与 c 构建在一个三角形中,然后证明这个三角形为特 殊三角形,如等边三角形,等腰直角三角形,或一个角为 30°的直角三角形等。 1 v1.0 可编辑可修改 对于类型③,一般将截长或补短后的 a ±b 与 c 构建在一个三角形中,与类 型②相同。实际上是求类型②中的 k 值。 c b 对于类型④,将 c2 =a ·b 化为 = 的形式,然后通过相似三角形的比例关系进 a c 行证明。在证明相似三角形的过程中,可能会用到截长或补短的方法。 例: C F D E H P G B A 在正方形 ABCD中,DE=DF,DG CE,交 CA于 G,GH AF,交 AD于 P, 交 CE延长线于 H,请问三条粗线 DG,GH,CH的数量关系 方法一(好想不好证) C F D E H P G B A 方法二(好证不好想) 2 v1.0 可编辑可修改 C F D E H P G B M A 例题不详解。 (第2 页题目答案见第 3 、4 页) A B F D C E

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