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双变量极值与比值代换函数问题中的运用
例.已知函数有两个不同的极值点、.
(1)求实数的取值范围;
(2)若,求证:,且.
解:(1),定义域为,.
由题意可知,方程在上有两个不等的实根、,
则,解得.因此,实数的取值范围是;
(2)由题意可知,、为方程的两个实根,
由于,则,
当时,,,
由(1)可知,
,
,令,设,.
,所以,函数在上单调递减,
所以,,因此,.
例.已知函数.
(1)讨论的单调性;
(2)若存在两个极值点,证明:.
解:(1)略.
(2)证明:由(1)可得,当时,存在两个极值点. 且是导函数的两零点,故.
由于,由对数均值不等式可知,代入可得:
,证毕.
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