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函数中恒成立问题练习题
方法一:最值分析法.
已知函数,证明:.
例2.已知函数,若当时,,求的取值范围.
方法二:分离参数
例3.已知函数.
当时,讨论的单调性;
当时,,求的取值范围.
例4.已知函数.
(1)当时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积;
(2)若f(x)≥1,求a的取值范围.
方法三:端点效应
例5.已知函数,其中.
(1)若,求函数的单调区间;
(2)设.若在上恒成立,求实数的最大值.
练习1.设函数.
讨论的单调性;
确定的值,使得在区间内恒成立.
练习2.设函数.
当时,判断是否为函数的极值点,并说明理由;
当时,不等式恒成立,求的最小值.
方法四:放缩法
1.不等式放缩
例6.已知函数(,为自然对数的底数),.
(1)若有两个零点,求实数的取值范围;
(2)当时,对任意的恒成立,求实数的取值范围.
练习1. 已知函数.
当时,求函数的单调区间;
若,求的取值范围.
练习2.已知函数. 若,求的取值范围.
练习3.已知函数.
(1)求函数的极值;
(2)当时,若恒成立,求实数的取值范围.
练习4. 已知函数.
(1)当时,证明:;
(2)若对于定义域内任意,恒成立,求的范围.
已知参数范围进行局部放缩(加必要性探路)
例6:已知函数.
设是的极值点,求,并讨论的单调性;
当时,证明
练习1.已知函数.
(1)设是的极值点,求的值;
(2)证明;当时,.
方法五:凸凹反转
例7.已知函数.
(1)讨论函数的单调性;
(2)当时,求证:.
练习1.已知函数.
当时,求的单调区间;
当时,证明:.
练习2:设函数,曲线在点处的切线为.
(1)求;
(2)证明:.
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