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对数概念及其运算 知识点 1 对数 1. 对数的定义 如果 a a 0, a 1 的 b 次幂等于 N ，那么数 b 叫做以 a 为底 N 的对数，记作 log a N b, 其中 a 叫做 对数的底数， N 叫做真数。在对数函数 log a N b 中， a 的取值范围是 a 0,且 a 1 ， N 的取值范 围是 N 0 ， b 的取值范围是 b R 。 【注意】根据对数的定义可知 （1）零和负数没有对数，真数为正数，即 N 0 （2）在对数中必须强调底数 a 0 且 a 1 2. 常用对数 （1）定义：以 10 为底的对数叫做常用对数， log 10 N 记做 lg N 。 （2）常用对数的性质 10 的整数指数幂的对数就是幂的指数，即 lg 10n n n是整数 3. 自然对数 （1）定义：以 e 2.71828 为底的对数叫做自然对数， log e N 通常记为 InN 。 （2）自然对数与常用对数之间的关系：依据对数换底公式，可以得到自然对数与常用对数之间的关 lg N lg N 系： InN ，即 InN 2.303 lg N 。 lg e 0.4343 4. 指数式与对数式的互化 （1）符号 log a N 既是一个数值，也是一个算式，即已知底数和在某一个指数下的幂，求其指数的算 式。对数式 log a N b 的 a 、 N 、 b 在指数式 a b N 中分别是底数、指数和幂。 （2）充分利用指数式和对数式的互换，讲述四条规则： ①在 log a N b 中，必须 N 0 ，这是由于在实数范围内，正数任何次幂都是正数，因而 a b N 中的 N 总是正数，须强调零和负数没有对数。 0 ②因为 a 1 ，所以 log a 1 0 。 ③因为 a1 a, 所以 log a a 1 。 ④因为 a b N ，所以 log a N b ，所以 al 0 g a N N 。 【例 1】下列说法错误的是（） (A) 负数和零没有对数 （B）任何一个指数式都可以化为对数式 （C）以 10 为底的对数叫做常用对数 （D）以 e 为底的对数叫做自然对数 【例2 】（1）把下列指数式写成对数式 x x 1 x 1 1 1 1 2 1 ① 3 ; ② 64; ③ ; ④ 5 27 4 2 16 5 （2）把下列对数式写成指数式： 1 ① log 3 9 2; ② lg 0.001 3; ③ log2 5 。 32 知识点 2 对数的运算 对数的运算性质 如果 a 0 且 a 1 ， M 0 ， N 0 ，那么， n （2） log a M n log n M n R ； n n （3） loga M loga M m, n R, m 0 。 m 用语言文字叙述对数运算法则为两个正数的积的对数等于这两个对数的和； 两个正数的商的对数等于 这两个正数的对数的差；一个正数的 n 次方的对数，等于这个正数的对数的 n 倍。 ab 【例3 】下列各式与 lg 相等的是（）