高中数学【排列组合】课件.ppt

§ 10.2 排列、组合及其应用 根底知识 自主学习 要点梳理 1. 排列 〔 1 〕排列的定义：从 n 个 不同 的元素中取出 m ( m ≤ n ) 个元素，按照一定的 顺序 排成一列，叫做从 n 个不同的元素中取出 m 个元素的一个排列 . 〔 2 〕排列数的定义：从 n 个不同的元素中取出 m 〔 m ≤ n 〕个元素的 所有不同排列 的个数叫做从 n 个 m 不同的元素中取出 m 个元素的排列数，用 A n 表示 . 〔 3 〕排列数公式： A m = n n ( n -1)( n -2) ? ( n - m +1) . 〔 4 〕全排列： n 个不同的元素全部取出的 排列 ，叫 做 n 个不同元素的一个全排列， A n = n · ( n -1 〕· n 〔 n -2 〕·?· 2 · 1= n ！ . 于是排列数公式写成阶乘 n ! m A n ? 的形式为 ( n ? m )! ，这里规定 0 ！ = 1 . 2. 组合 〔 1 〕组合的定义：从 n 个 不同 的元素中取出 m 〔 m ≤ n 〕个元素 合成一组 叫做从 n 个不同的元素中取出 m 〔 m ≤ n 〕个元素的一个组合 . 〔 2 〕组合数的定义：从 n 个不同的元素中取出 m 〔 m ≤ n 〕个元素的 所有不同组合 的个数，叫做从 n 个 不同的元素中取出 m 〔 m ≤ n 〕个元素的组合数，用 C n ! m A n m ! ( n ? m )! m 〔 3 〕组合数的计算公式： = C n ? m ? A m n ( n ? 1 )( n ? 2 ) ? ( n ? m ? 1 ) ，由于 0 ！ = 1 ，所以 m ( m ? 1 ) ? 2 ? 1 1 . C 0 = n 〔 4 〕组合数的性质：① C m n m ? 1 + C n . = n ? m C n ；② C m n ? 1 m = C n m n 表示 . 根底自测 1. 从 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6 六个数字中，选出一个偶数 和两个奇数，组成一个没有重复数字的三位数，这 样的三位数共有 个 解析 个 个 〔 D 〕 个 2 =9 种方法， 选出符合题意的三个数有 C 1 3 C 3 每三个数可排成 A 3 =6 个三位数， 3 ∴共有 9 × 6=54 个符合题意的三位数 . 2. {1 ， 2}  X  {1,2,3,4,5} ，满足这个关系式 的集合 X 共有 个 个 个 〔 D 〕 个 解析 由题意知集合 X 中的元素 1 ， 2 必取，另外， 从 3 ， 4 ， 5 中可以不取，取 1 个，取 2 个，取 3 个 . 故有 C 0 ? C 1 ? C 2 ? C 3 =8 〔个〕 . 3 3 3 3 3. 某中学要从 4 名男生和 3 名女生中选派 4 人担任奥 运会志愿者，假设男生甲和女生乙不能同时参加， 那么不同的选派方案共有 〔 A 〕 种 解析 种 种 种 假设选男生甲，那么有 C 3 5 =10 种不同的选法；同 理，选女生乙也有 10 种不同的选法；两人都不选有 4 C 5 =5 种不同的选法，所以共有 25 种不同的选派方案 . 4. 〔 2022 ·湖南理， 5 〕 从 10 名大学毕业生中选 3 人 担任村长助理，那么甲、乙至少有 1 人入选，而丙没 有入选的不同选法的种数为 〔 C 〕 9 ? 8 ? 7 解析 =84 〔种〕 , ? 3 ? 2 ? 1 甲乙丙都不入选的选法有 C 3 ? 7 ? 6 ? 5 =35 〔种〕 . 7 3 ? 2 ? 1 所以甲、乙至少有一人入选，而丙不入选的选法 丙不入选的选法有 C 3 9 有 84-35=49 种 . 5. 有 6 个座位连成一排，现有 3 人就坐，那么恰有两个 空座位相邻的不同坐法有 种 解析 3 A 3 〔 C 〕 种 种 种 恰有两个空位相邻，相当于两个空位与第 三个空位不相邻，先排三个人，然后插空 . 从而共 · A 2 =72 种排法 . 4 题型分类 深度剖析 题型一 排列问题 【 例 1 】有 3 名男生、 4 名女生，在以下不同条件下， 求不同的排列方法总数 . 〔 1 〕选其中 5 人排成一排； 〔 2 〕排成前后两排，前排 3 人，后排 4 人； 〔 3 〕全体排成一排，甲不站排头也不站排尾； 〔 4 〕全体排成一排，女生必须站在一起； 〔 5 〕全体排成一排，男生互不相邻； 〔 6 〕全体排成一排，甲、乙两人中间恰好有 3 人 . 思维启迪 无限制条件的排列问题，直接利用排 列数公式即可 . 但要看清是全排列还是选排列；有 限制条件的排列问题，常见类型是“在与不在〞、 “邻与不邻〞问题，可分别用相应方法 . 解 〔 1 〕从 7 个人中选