多元函数微分学练习题.doc

第五章（多元函数微分学） 练习题 一、填空题 1. lim sin( xy) ． y ( x, y ) (0,0) 2. lim (x y)sin 1 ． 2 2 ( x, y) (0,0) x y 1 3. lim [1 sin( xy )] xy ． ( x, y) (0,0) 1 2 y), xy 0, 则 f x (0,1) 4. 设 f (x, y) xy sin(x ． 0, xy 0 设 z 设 z 设 u 若  xy +1 ( x 0, x 1) ，则 dz ． ln(1 x2 y2 ) ，则 dz (1,2) ． 1 ，则 du ． x2 y2 z2 f (a,a) a ，则 lim f (x,a) f (a, a) ． x x a x a 9. 设 函 数 u ln x2 y2 z2 ， 则 它 在 点 M 0 (1, 1,1) 处 的 方 向 导 数 的 最 大 值 为 ． 10. 设函数 u y2 z3 v (2, 2,1) 的方 向导数 x ，则 它 在点 M 0 (1,1,1)处沿 方向 l 为 ． 2 v v v ，则 z 11. 设 z xy ， l i 3 j v l  ． 2 1 12. 曲线 x cos , y sin , z tan t 在点 (0,1,1) 处的切线方程是 ． t t 2 13. 函数 z xy 在闭域 D {( x, y) x 0, y 0, x y 1} 上的最大值是 ． 14. 曲面 z ez 2xy 3 在点 (1,2,0) 处的切平面方程为 ． 15. 曲面 : y e2 x z 0 上点 (1,1,2) 处的法线方程是 ． 16. 曲 面 z x2 y2 与 平 面 2x 4 y z 0 平行的切平面方程 是 ． 17. 曲线 x2 y2 z z2 6, 在点 (1,2, 1) 处切线的方向向量 s ． x y 2 18. 设 f (x, y, z) ex yz2 ，其中 z z( x, y) 是由方程 x y z ex y z 确定的隐函数，则 f x (0,1,1) ． 二、选择题 1. 设 x 0 是 E R n 的孤立点，则 x0 是 E 的 （ ） (A) 聚点； (B) 内点； (C) 外点； (D) 边界点． 2. 设 x 0 是 E R n 的内点，则 x 0 是 E 的 （ ） (A) 孤立点； (B) 边界点； (C) 聚点； (D) 外点． x2 2 y2 , ( x, y) (0,0) 3. 设 f ( x, y) x y ，则 fy (0,0) ( ) 0, ( x, y) (0,0) (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 1 4. 若 f ( x, y) 在 x0 ( x0 , y0 ) 的两个偏导数 f ( x0 ) ， f ( x0 ) 存在，则 ( ） x y (A) f 在 x 0 可微； (B) f 在 x0 连续； (C) f 在 x0 存在任何方向的方向导数； (D) f 在 x0 关于 x 与 y 皆连 续． 5. 二元实值函数 f ( x, y) 的两个偏导数 f ， f 在 x 0 ( x0 , y0 ) 连续是 f 在 x 0 可微的 x y ( ) (A) 充分条件 (B) 必要条件 (C) 充要条件 (D) 既不是充分也不是必要的条件 6. 函数 u x2 y2 2xz 2 y 3 在点 (1, 1,2) 处的方向导数的最大值为（ ） (A) 4 2 ； (B) 3 2； (C) 2 2 ； (D) 2 ． 7. 函数 z x3 y3 3x2 3y 2 的极小值点是 ( ) (A) (0,0) (B) (2, 2) (C) (2,0) (D) (0, 2) 8. 设 z f (x, y) 在 x 0 ( x0 , y0 ) 可微 , z 是 f 在 x 0 的全增量 , 则在 x 0 处有 ( ） (A) z dz； (B) z f x (x 0 ) x f y ( x0 ) y ； (C) z f x ( x 0 ) dx f y ( x 0 ) dy ； (D) z dz ( ),( ( x) 2 ( y)2 ) ． 9. 设 x z yf ( x2 z2 ) （其中 f 可微），且能确定隐函数 z f ( x, y) ，则 z z y z x y （ ） (A) x y( y z) f (x 2 z2 ) ； (B) x ； (C) x y( y 2xz) f (x 2 z2 ) ； (D) z ． 10. 设方程 y F (x 2 y2 ) F (x y)