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无理方程的解法 未知数含在根号下的方程叫作无理方程 ( 或根式方程 ) ，这是数学竞赛中经常出现的一些特 殊形式的方程中的一种．解无理方程的基本思想是把无理方程转化为有理方程来解，在变 形时要注意根据方程的结构特征选择解题方法．常用的方法有：乘方法、配方法、因式分 解法、设辅助元素法、利用比例性质法等．本讲将通过例题来说明这些方法的运用． 例 1 解方程 解 移项得 两边平方后整理得 再两边平方后整理得 2 x ＋3x-28＝0， 所以 x 1=4，x2=-7． 经检验知， x2=-7 为增根，所以原方程的根为 x=4 ． 说明 用乘方法 ( 即将方程两边各自乘同次方来消去方程中的根号 ) 来解无理 方程，往往会产生增根，应注意验根． 例 2 解方程 方公式 将方程的左端配方．将原方程变形为 所以 2 2 两边平方得 3x +x=9-6x＋x ， 2 2 两边平方得 3x +x=x ＋6x ＋9， 例 3 解方程 即 所以 移项得 例 4 解方程 解 三个未知量、一个方程，要有确定的解，则方程的结构必然是极 其特殊的．将原方程变形为 配方得 利用非负数的性质得 所以 x=1 ，y=2，z=3． 经检验， x=1，y=2，z=3 是原方程的根． 例 5 解方程 所以 将①两边平方、并利用②得 2 2 x y ＋2xy-8=0， (xy ＋4)(xy -2)=0 ． xy=2 ． ③ 例 6 解方程 解 观察到题中两个根号的平方差是 13，即 ②÷①便得 由①，③得 例 7 解方程 分析与解 注意到 2 2 2 2 (2x -1) -(x -3x-2)=(2x +2x+3)-(x -x+2) ． 设 则 2 2 2 2 u -v ＝w-t ， ① u+v=w+t． ② 因为 u+v=w+t=0 无解，所以①÷②得 u-v=w-t ． ③ ②＋③得 u=w，即 解得 x=-2 ． 经检验， x=-2 是原方程的根． 例 8 解方程 整理得 y3-1=(1-y) 2 ， 即 (y - 1)(y 2+2)=0 ． 解得 y=1，即 x=- 1． 经检验知， x=-1 是原