《数学：基础模块.上册》 《数学：基础模块.上册》-第四章.pptxVIP

《数学：基础模块.上册》 第四单元 幂函数、指数函数与对数函数 4.1指数幂及幂函数 4.2指数函数 4.3对数 4.4对数函数 4.5指数函数与对数函数的应用 4.1指数幂及幂函数 4.1.1 有理数指数幂 1.n次根式 x2=a(a≥0)，那么x叫作a的平方根.x3=a,那么x叫作a的立方根. 当n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数，都表示为 . 当n为偶数时，正数的n次方根有两个，它们互为相反数，分别表示为 Na ，－ na（a0）. 其中na叫作a的n次算术根.例如，81的4次算术根分别为481 =3,－ 481 =－3. 当na 有意义时，na 叫作根式，n叫作根指数，a叫作被开方数. 一般地，如果有 xn=a(a∈R,n1,n∈N)，则x叫作a的n次方根. 4.1指数幂及幂函数 4.1.1 有理数指数幂 2.分数指数幂 当n∈N*时， . 一般地，a n（n∈N*）叫作a的n次幂，a叫作幂的底数，n叫作幂的指数. 并且规定当a≠0时， a0=1,a 我们约定底数a0，将正分数指数幂定义为 负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相同，定义为 至此，我们已经把整数指数幂推广到有理数指数幂. 4.1指数幂及幂函数 4.1.2 实数指数幂的运算法则 整数指数幂的运算法则为 am·an=am+n，(am)n=amn，(ab)m=ambm，其中，a＞0，m,n∈Z. 这些法则对于有理数指数幂也同样适用，即当a，b＞0，p,q为任意有理数时,有 ap·aq=ap+q， (ap)q=apq， (ab)p=apbp. 有理数指数幂还可以推广到实数指数幂.可以证明（证明略）对任意实数p,q，上述运算法则仍然成立. 例4：(3) 4.1指数幂及幂函数 4.1.3 幂函数 一般地，形如 y=xα(α∈R) 的函数叫作幂函数，其中α为常数. 幂函数具有以下性质： （1）当α0时， ①图像都经过（0，0），（1，1）点； ②在第一象限内是增函数. （2）当α0时， ①图像都经过（1，1）点； ②在第一象限内是减函数； ③在第一象限内，图像向上与y轴无限地接近，向右与x轴无限地接近. 4.1指数幂及幂函数 4.1.3 幂函数 例6:指出下列函数的定义域，并作出它们的图像. （5）y=x－1；（6）y=x－2. 解： （5）函数y=x－1=1x的定义域为(－∞,0)∪(0,+∞). （6）函数y=x－2=1x2的定义域为(－∞,0)∪(0,+∞). 用描点法作出这两个函数的图像.分别在其定义域中取一些值： 图像见右图： 4.2指数函数 先看下面的问题，研究问题中两个变量之间的依赖关系. 问题1：某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，4个分裂成8个,…….1个这样的细胞分裂x次后得到的细胞个数y与x的函数关系式为 y=2x. 问题2：一根1m长的绳子从中间剪一次剩下1/2m，再从剩下的1/2m中间剪一次剩下1/4m.若这根绳子剪x次剩下y m，则y与x的函数关系式为 y=( )x. 在这两个函数中，自变量x出现在指数的位置上，而底数为常数.一般地，函数 y=ax(a0,a≠1) 叫作指数函数，其定义域为R. 4.2指数函数 用描点法，作出指数函数y=2x 、y=( )x和y=3x 、y=( )x的图像. 通过实例，可以归纳出指数函数 y=ax(a0,a≠1) 具有下列性质： （1）定义域为R，值域为(0,+∞). （2）函数图像均经过点(0,1). （3）当a1时，指数函数是增函数；当0a1时，指数函数是减函数. 4.2指数函数 例3：判断下列函数在(－∞,+∞)上的单调性. (1)y=0.7x;(2) y=0.3－x;(3) y= . 解（1）因为底数a=0.71，所以函数y=0.7x在(－∞,+∞)上是减函数. （2）因为y=0.3－x=(0.3－1)x= ，底数a= 1，所以函数y=0.3－x在(－∞,+∞)上是增函数. (3)因为y= =( )x=( )x=2x，底数a=21，所以函数y= 在(－∞,+∞)上是增函数. 例4：比较下列各组中两个数的大小. （1）50.4与50.6；（2）0.8-3与0.8－1.5；（3） 与1. 解（1）函数y=5x在(－∞,+∞)上是增函数.因为0.40.6，所以50.450.6. (2)函数y=0.8x在(－∞,+∞)上是减函数.因为－3－1.5，所以0.8－30.8－1.5. (3)函数y=10x在(－∞,+∞)上是增函数.因为 0，所以 100，即 1. 4.3对数 4.3.1 对数的概念与计算 1.对数的概念 一般地，如果ab=