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【解析】(1)圆A整理为(x+1)2+y2=16,点A坐标为 (-1,0),如图, 因为BE∥AC,则∠ACB=∠EBD,由|AC|=|AD|, 则∠ADC=∠ACD, 所以∠EBD=∠EDB,则|EB|=|ED|, 所以|AE|+|EB|=|AE|+|ED|=|AD|=4. 所以E的轨迹为一个椭圆,方程为 =1(y≠0); (2)C1: =1;设l:x=my+1, 因为PQ⊥l,设PQ:y=-m(x-1),联立l与椭圆C1, 得(3m2+4)y2+6my-9=0; 则|MN|= |yM-yN| 圆心A到PQ距离d= 所以|PQ|= 所以SMPNQ= |MN|·|PQ| 考向三 相关点(代入)法求轨迹方程 【例3】设F(1,0), M点在x轴上,P点在y轴上,①且 ②,当点P在y轴上运动时,求点N的 轨迹方程. 世纪金榜导学号 【题眼直击】 题眼 思维导引 ① M点纵坐标为0,P点横坐标为0 ② 通过向量的运算找到三点坐标之间的关系 【自主解答】设M(x0,0),P(0,y0),N(x,y), 因为 =(x0,-y0), =(1,-y0), 所以(x0,-y0)·(1,-y0)=0, 即x0+ =0. 由 得(x-x0,y)=2(-x0,y0), 所以 所以-x+ =0,即y2=4x. 故所求的点N的轨迹方程是y2=4x. 【拓展提升】 相关点法求轨迹方程的步骤 (1)与动点N(x,y)相关的点P(x0,y0)在已知曲线上运动. (2)寻求关系式x0=f(x,y),y0=g(x,y). (3)将x0,y0代入已知曲线方程. (4)整理关于x,y的关系式得N的轨迹方程. 【变式训练】 (2017·全国卷Ⅱ)设O为坐标原点,动点M在椭圆C: +y2=1上,过点M作x轴的垂线,垂足为N,点P满足 (1)求点P的轨迹方程. (2)设点Q在直线x=-3上,且 =1.证明:过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F. 【解析】(1)设P(x,y),M(x′,y′),N(x′,0), 已知 即(x-x′,y)= (0,y′), 所以 所以 因为M在椭圆上, 所以代入椭圆方程得到x2+y2=2, 所以点P的轨迹方程为x2+y2=2. (2)设P(x1,y1),Q(-3,y2),椭圆的左焦点为F(-1,0), =(x1,y1), =(-3-x1,y2-y1), · =x1·(-3-x1)+y1(y2-y1)=1,即-3x1 - + y1 ·y2 - =1,-3x1 + y1 ·y2 -( + )=1, 即-3x1+y1·y2=3,①,故lOQ:y=- ·x. 所以过点P与直线OQ垂直的直线l为:y-y1= ·(x-x1), 当x=-1时,y=y1+ (-1-x1)=y1+ 将①代入得y=0, 所以过P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F. 第1课时 轨迹与方程问题 考向一 直接法求轨迹方程 【例1】(2019·全国卷Ⅱ)已知点A(-2,0),B(2,0), 动点M(x,y)满足直线AM与BM的斜率之积为- ①. 记M的轨迹为曲线C. (1)求C的方程,并说明C是什么曲线. (2)过坐标原点的直线交C于P,Q两点,点P在第一象限,PE⊥x轴,垂足为E,连接QE并延长交C于点G. (ⅰ)证明:△PQG是直角三角形;② (ⅱ)求△PQG面积的最大值.③ 【题眼直击】 题眼 思维导引 ① 利用斜率之间的关系建立等量关系式 ② 想到斜率之积为-1,则两直线垂直 ③ 利用均值不等式或函数单调性求最值 【自主解答】 (1)由题设得 化简得 (|x|≠2),所以C为中心在坐标原点,焦点在x轴上 的椭圆,不含左右顶点. (2)(ⅰ)设直线PQ的斜率为k,则其方程为y=kx(k0). 由 得x=± .记u= , 则P(u,uk),Q(-u,-uk),E(u,0).于是直线QG的斜率为 ,方程为y= (x-u).由 得(2+k2)x2-2uk2x+k2u2-8=0.① 设G(xG,yG),则-u和xG是方程①的解,故xG= 由此得yG= .从而直线PG的斜率为 所以PQ⊥PG,即△PQG是直角三角形. (ⅱ)由(ⅰ)得|PQ|=2u ,|PG|= 所以△PQG的面积S= |PQ‖PG|= 设t=k+
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